U統計量

估計問題有的是對特殊分佈族的某個參數函數的估計，例如Bernoulli分佈

的概率p的估計問題，也有一些是對廣泛的分佈族

中分佈F的某個特徵的估計問題，例如分佈F的均值、方差或分佈函數在某一點的函數值

的估計問題。對於分佈的特徵均值

或分佈函數在

的函數值也可寫成如下的形式:

在上述的表示中，如果將分佈本身看作為一個“參數”，那麼要估計的分佈的特徵也是“參數”的函數。所以一般的可以考慮下列形式的特徵的估計問題:

這裏的分佈族可以是較為廣泛的分佈族

，例如

。

式(1)中的h也稱為參數函數g的核(kernel)，k稱為核的階(order)。

對於以

為核的參數函數

， 一個基於樣本

的簡單的無偏估計是

，但它只使用了樣本的前幾個觀測，為了利用所有的觀測，一個自然的做法是對稱化 ^[1]  。

定義 基於樣本

的統計量

稱為U-統計量(U statistics)，h也稱為統計量的核。(2)中的

表示對

中取k個元素的排列

求和 ^[1]  。

（1）以h為核的U-統計量是h對應的參數函數

的無偏估計。

（2）由於對

的任一個排列

成立

所以不妨只考慮關於其變量為對稱的核h，即h滿足條件

對

的任一個排列

成立。

（3）對於對稱的k階核h，其U-統計量可寫為

（4）U-統計量關於

的任一排列

是不變的，所以它是隻依賴於樣本順序統計量的函數 ^[1]  。

統計量(statistic)是指樣本的已知函數，其作用是把樣本中有關總體的信息彙集起來，是數理統計學中一個重要的基本概念。常用統計量有樣本矩、次序統計量、U統計量和秩統計量等。其中U統計量是W.霍夫丁於1948年引進的。統計量的充分性和完全性是兩個重要概念，充分性是費希爾在1925年引進的，內曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法，叫做因子分解定理。統計量的分佈叫做抽樣分佈，它的研究是數理統計中的重要課題。對一維正態總體，有三個重要的抽樣分佈，即

分佈、

分佈和

分佈。其中

分佈是F.赫爾梅特於1875年在研究正態總體的樣本方差時得到的；

分佈是英國統計學家W.S.戈塞特(筆名“學生”)於1908年提出的；

分佈是費希爾在20世紀20年代提出的 ^[2]  。