霍赫希爾德上同調羣

設A為

上代數，M為A上雙模。定義

C⁰(A,M)=M，

為A的取值於 M的n+1線性泛函。

則C*(A,M)=

為A的取值於M的霍赫希爾德上鍊復形。

其中微分算子δ定義為

(δm)(a)=ma-am，

(δf)(a₁,...,a_n+1)=a₁f(a₂,...,a_n+1)+

+(-1)ⁿ⁺¹f(a₁,...,a_n)a_n+1，

其中m∈C⁰(A,M)，f∈C^n≥1(A,M)。

可證明δ²=0。故C*(A,M)的上同調為A的取值於M的霍赫希爾德上同調羣H*(A,M)。 ^[1] 

設k為交換環，R為k上代數。則R的霍赫希爾德上同調為

的對偶

的上同調。 ^[2] 

定義函子H⁰(A,-)從左

模範疇到複線性空間範疇為

則霍赫希爾德上同調為Hom(A,-)或H⁰(A,-)的左導出函子，故有

。 ^[1] 

當n=0時，霍赫希爾德0上閉鏈為H⁰(A,M)={m∈M|ma=am，對任何a∈A}。

當n=1時，霍赫希爾德1上閉鏈為導子，即

線性映射f:A→M，滿足f(ab)=af(b)+f(a)b；1邊緣鏈為內導子 ，故H¹(A,M)為外導子組成的空間 。

當n=2時，設A含單位元，A對M的阿貝爾擴張為代數正合列0→M→B→A→0

其中B含單位元的代數，M擁有平凡的代數乘法。設E(A,M)為阿貝爾擴張同構類的集合，有自然雙射

。設s:A→B為投射B→A的線性分裂，

為曲率，對A中任意a,b定義為f(a,b)=s(ab)-s(a)s(b)。則f為霍赫希爾德2上閉鏈，且與分裂s的選取無關。對任意2上閉鏈

，可定義B=A⊕M的乘法(a,m)(a',m')=(aa',am'+ma'+f(a,a'))，可證明當且僅當f為2上閉鏈時滿足結合律。則對2上閉鏈f的擴張為0→M→A⊕M→A→0。 ^[1] 

當M=A時，有雙模結構a(b)c=abc。此時C*(A,A)稱為形變復形或Gerstenhaber復形。 ^[1] 

當M=A*=Hom(A,

)時，定義雙模結構為(afb)(c)=f(bca)。該雙模與循環上同調有關。

利用等同

故微分算子δ變為b

將C*(A,A*)記為C*(A)，H*(A,A*)記為HH*(A)。 ^[1] 

HH⁰(A)={f:A→k|f(ab)=f(ba)，對任何a,b∈A為A的跡空間。 ^[2] 

HH⁰（

）=

，HH^n≥1（

）=0。 ^[1] 

霍赫希爾德上同調與循環上同調的研究多集中於R為交換代數，且能被視為流形或抽象簇X上的光滑函數的情況。故霍赫希爾德上同調與循環上同調與X的德拉姆上同調有密切聯繫。 ^[2]