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左導出函子

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在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以“求導”，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裏的具體構造。導出函子包括左導出函子和右導出函子。
中文名
左導出函子
外文名
Left Derived functor
領    域
數學

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 構造與初步性質
  3. ▪ 右導出函子
  1. ▪ 左導出函子
  2. ▪ 逆變函子的情形
  3. 3 長正合序列
  1. 4 應用
  2. 5 推廣

左導出函子簡介

在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以“求導”，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裏的具體構造。
考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇
，及其間的加法函子
。假設
為左正合函子，換言之，對
中的任一短正合序列
下列序列是正合的：

左導出函子構造與初步性質

左導出函子右導出函子

今假設
中有充足的內射元。設
，根據假設，存在內射分解：
取函子
，得到上鏈復形：
定義
為其第
個上同調羣，特別是有
。注意到兩點：
由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子
在同構的意義下是明確定義的。
若
是內射對象，取平凡分解
，可知當
時有
。

左導出函子左導出函子

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設
為右正合加法函子，並假設
有充足的射影元。對任一對象
，取一射影分解：
取函子
，得到鏈復形：
定義
為其第
個同調羣，其性質類似右導出函子。

左導出函子逆變函子的情形

對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。 [1] 

左導出函子長正合序列

對於右導出函子的情形，任一短正合序列
給出長正合序列：
對於左導出函子，相應的長正合序列形如：
此外，這些長正合序列在下述意義下是“自然”的：
  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。
這些性質是蛇引理的推論。 [2] 

左導出函子應用

層上同調：對拓撲空間
，考慮其上的阿貝爾羣層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子
是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子
。
平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
Ext函子：設
為環，考慮
-模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一
-模
，函子
為左正合的，其右導出函子記為
。
Tor函子：同樣考慮
-模範疇，對任一
-模
，函子
為右正合的，其左導出函子記為
。
羣上同調：設
為羣。所謂
-模是指被
作用的阿貝爾羣，
-模範疇可以理解為
-模範疇。對任一
-模
，定義
，這是一個左正合函子，其右導出函子即羣上同調函子
。 [2] 

左導出函子推廣

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。 [2] 
參考資料
  • 1.    Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9
  • 2.    Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.