循環上同調

設A為

上代數，(C*(A),b)為取值於A雙模A*的霍赫希爾德上鍊復形。

令λf(a₀,...,a_n)=(-1)ⁿf(a_n,a₀,...,a_n-1)，則n上鍊f∈Cⁿ(A)稱為循環n上鍊，若λf=f。將所有循環n上鍊的集合記為

，在微分算子b下是循環復形。

循環復形的上同調是循環上同調，記為HC*(A)。 ^[1] 

循環上同調羣的上閉鏈稱為循環上閉鏈。循環n上閉鏈為A的n+1線性泛函f，滿足(1-λ)f=0與bf=0。

包含映射

誘導A的循環上同調到霍赫希爾德上同調羣的映射I:HCⁿ(A)→HHⁿ(A)。 ^[1] 

HC⁰(A)=HH⁰(A)為A的跡空間。

對n≥0，HC²ⁿ(

)=

，HC²ⁿ⁺¹(

)=0。

設A=C^∞(M)為光滑定向閉流形M上的光滑復值函數，定義

φ(f⁰,f¹,...,fⁿ):=∫_Mf⁰df¹...dfⁿ。

則φ為A的循環n上閉鏈。 ^[1]