離散羣

離散羣是配備了離散拓撲的羣G。帶有這種拓撲G成為了拓撲羣。拓撲羣G的離散子羣是其相對拓撲為離散拓撲的子羣H。例如，整數集 Z形成了實數集 R的離散子羣，但是有理數集 Q不行。

任何羣都可以給予離散拓撲。因為出自離散空間的所有映射都是連續的，離散羣的拓撲同態完全就是底層羣的羣同態。因此，在羣範疇和離散羣範疇之間有一個同構，離散羣因此同一於它們的底層(非拓撲)羣。由於這個想法，術語離散羣論被用來稱呼對沒有拓撲結構的羣的研究，用來對比於拓撲羣論或李羣論。它在邏輯上和技術上被分為有限羣論和無限羣論。

在有些場合拓撲羣或李羣反自然的配備上離散拓撲是有用的。這可以在玻爾緊緻化理論和在李羣的羣上同調理論中找到實例。

因為拓撲羣是齊次的，你只需要查看一個單一的點就能確定這個羣是否為離散的。特別是，拓撲羣是離散的，當且僅當包含單位元的單元素集合是開集。 ^[2] 

離散羣是和零維李羣同樣的東西(不可數離散羣不是第二可數的，所以要求李羣滿足這個公理的作者不把這些羣認做李羣)。離散羣的單位元單元就是平凡子羣而單元的羣同構於這個羣自身。

因為只有在有限集合上的豪斯多夫拓撲是離散拓撲，有限豪斯多夫拓撲羣必然是離散羣。可得出所有的豪斯多夫羣的有限子羣是離散羣。

G的離散子羣 H是緊緻(cocompact)的，如果有 G的緊子集K使得 HK= G。

離散正規子羣在覆蓋羣和局部同構羣的理論中扮演重要角色。連通羣 G的離散正規子羣必然位於 G的中心並因此是阿貝爾羣。

其他性質：

卷結羣和壁紙羣是歐幾里德平面的等距同構羣的離散子羣。壁紙羣是餘緊緻的，但卷結羣不是。

空間羣是某維度的歐幾里德空間的等距同構羣的離散子羣。

結晶羣通常意味着緊緻的、某個歐幾里德空間的等距同構的離散子羣。但是有時結晶羣可以是冪零或可解李羣的餘緊緻離散子羣。

所有三角羣T是球面(在 T是有限的時候)、歐幾里德平面(在 T有有限指標的 Z + Z子羣的時候)或雙曲面的等距同構羣的離散子羣。

富克斯羣通過定義是雙曲面的等距同構羣的離散子羣。 保持定向並作用在雙曲面的上半面上的 Fuchsian 羣李羣 PSL(2,R) 的離散子羣，它是雙曲面的上半面模型的定向保持等距同構的羣。富克斯羣有時被認為是克萊因羣的特殊情況，通過把雙曲面等距的嵌入到三維雙曲空間中並擴張在這個面上的羣作用到整個空間。

模羣是 PSL(2,Z)，被認為 PSL(2,R) 的離散子羣。模羣是在 PSL(2,R) 中的格，但它不是緊緻的。

克萊因羣通過定義是雙曲3-空間的等距同構羣的離散子羣。這包括準-富克斯羣。 定向保持和作用在雙曲 3-空間的上半面模型上的克萊因羣是李羣 PSL(2,C) 的離散子羣，它是雙曲 3-空間的上半面模型的定向保持等距同構的羣。

在李羣中的格是使得商羣的哈爾測度為有限的離散子羣。