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迭代函數

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迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點,讓計算機對一組指令(或一定步驟)進行重複執行,在每次執行這組指令(或這些步驟)時,都從變量的原值推出它的一個新值。在數學中，迭代函數是在碎形和動力系統中深入研究的對象。迭代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做迭代。
在數學中，迭代函數是在碎形和動力系統中深入研究的對象。迭代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做迭代。
中文名
迭代函數
外文名
Iterative function

目錄

  1. 1 介紹
  2. 2 定義
  1. 3 從迭代建立序列
  2. 4 不動點
  1. 5 極限行為
  2. 6 例子

迭代函數介紹

通過迭代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來説，迭代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。
當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或ω-極限集合。
吸引和排斥的想法類似推廣；依據在迭代下小鄰域行為，可把迭代分類為穩定集合和不穩定集合。
其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

迭代函數定義

在集合
上的迭代函數的形式定義為:
設
是集合和
是函數。定義
的
次迭代
為
而 ，這裏的
是在
的恆等函數。
在上述中，
指示函數複合；就是説
。

迭代函數從迭代建立序列

函數
的序列叫做Picard 序列，得名於Charles Émile Picard。對於一個給定
，
的值的序列叫做
的軌道。
如果對於某個整數
有
，則軌道叫做週期軌道。對於給定
最小的這種
值叫做軌道的週期。點
自身叫週期點。

迭代函數不動點

如果m=1，就是説如果對於某個X中的x有f(x) =x，則x被稱為迭代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fix（f）。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性，包括巴拿赫不動點定理和Brouwer不動點定理。
有很多技術通過不動點迭代產生了序列收斂加速。例如，應用於一個迭代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

迭代函數極限行為

通過迭代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來説，迭代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。
當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或ω-極限集合。
吸引和排斥的想法類似推廣；依據在迭代下小鄰域行為，可把迭代分類為穩定集合和不穩定集合。
其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

迭代函數例子

著名的迭代函數包括曼德博集合和迭代函數系統。
如果f是一個羣元素在一個集合上的作用，則迭代函數對應於自由羣。