迭代函數系統

迭代函數系統（IFS）屬於一種分形構形系統，是分形幾何學的重要分支，藉助計算機強大的迭代計算能力，將分形理論的精髓—自相似性、層次的多重性和不同層次的規則統一性，應用於計算機圖形領域，可以產生許多具有無窮細節、精緻紋理的圖形。 ^[1] 

IFS是以仿射變換為框架，根據幾何對象的整體與局部具有自相似的結構，將總體形狀以一定的概率按不同的仿射變換迭代下去，直至得到滿意的分形圖形。

一個迭代系統由

個

維空間

上的仿射變換

組成，每個

對應的壓縮比為

，滿足

，且每個

有一個伴隨概率

，

且

。迭代系統IFS又記為：

，其中，

，

。由於主要在

空間考察IFS，故可簡記為

。

IFS碼是指IFS

中的集合

設

是完備度量空間

上的IFS，壓縮比為

，變換

由下式定義：

則

是

上壓縮比為

壓縮映射，即，

，且存在惟一的不動點（不變集）

，滿足

，並且對

，有

。

其中不動點A稱為這個IFS的吸引子。IFS的吸引子一般都是分形，稱為確定性分形。從理論上講，不管多麼複雜的事物形態，只要能夠確定其IFS代碼就可以藉助計算機再現事物的複雜形態。由拼貼定理可知，只要選擇適當的仿射變換，就可以使得迭代產生的目標圖像與分形圖任意接近，所以IFS方法在模擬分形圖像方面具有極重要的意義。

迭代函數系統繪製分形圖形有兩種方法：確定性迭代算法和隨機性迭代算法。

確定性迭代算法是通過仿射變換得到的。其基本原理就是找一個初始集，對集上的每一個點，根據給定的仿射變換公式進行數據變換，便可得到新的點集。這樣通過多次迭代，便可繪製所需的圖形，並且每個圖形的局部和整體相似。只要其仿射變換系數相同，即IFS碼相同，當迭代次數足夠大時，最終生成的圖形是相同的。 ^[2] 

隨機性迭代算法用到了概率，從而可以對圖形的細節和顏色進行控制。隨機性迭代算法的基本原理就是利用一個給定的IFS碼

（每一個仿射變換

對應於一個概率

），從任選的一個初始點

出發，依據其概率分佈

，從

中選擇相應的

進行仿射變換，可得到新的點

。然後，再由概率

選擇相應

的進行變換，進而得到新的點

。這樣反覆迭代，便可得到一系列的點

。這些點集顯示在屏幕上，便得到一個完整的分形圖。 ^[2]