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赫爾德條件
鎖定
數學上,稱\R^n上的實值函數f適合赫爾德條件,或稱赫爾德連續。
- 中文名
- 赫爾德條件
- 外文名
- Holder condition
- 提出人
- 奧托·赫爾德
- 應用領域
- 微積分
- 學 科
- 數理科學
赫爾德條件簡介
數學上,稱
上的實值函數
適合赫爾德條件,或稱赫爾德連續,當存在非負常數
,
,使得
,
設S為測度空間,
,及
,設f在
內,g在
內。則
在
內,且有
我們稱p和q互為赫爾德共軛。
若取S為自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。
當p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式。
赫爾德條件備註
在赫爾德共軛的定義中,1/∞意味着零。
如果1 ≤ p,q < ∞,那麼
和
表示(可能無窮的)表達式:
如果p = ∞,那麼||f ||∞表示|f |的本性上確界,||g||∞也類似。
赫爾德條件證明
赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式。
如果||f ||p = 0,那麼f μ-幾乎處處為零,且乘積fg μ-幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q = 0也是這樣。因此,我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。
如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那麼不等式的右端為無窮大。因此,我們可以假設||f ||p和||g||q位於(0,∞)內。
如果p = ∞且q = 1,那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞,情況也類似。因此,我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。
分別用f和g除||f ||p||g||q,我們可以假設:
我們使用楊氏不等式:
對於所有非負的a和b,當且僅當ap = bq時等式成立。因此:
兩邊積分,得:
這便證明了赫爾德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下,等式成立當且僅當幾乎處處有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位於(0,∞)內,那麼赫爾德不等式變為等式,當且僅當存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:
赫爾德條件例子
在
上定義函數
,
不是利普希茨連續;但對
,
是
赫爾德連續。