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利普希茨連續

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在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。
在微分方程中，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。
利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦範向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。
中文名
利普希茨連續
外文名
Lipschitz continuity
提出人
魯道夫·利普希茨
應用範圍
實分析、微積分

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 定理
  3. 3 例子
  4. 4 性質

利普希茨連續定義

對於在實數集的子集的函數
，若存在常數K≥0，使得
，則稱 f 符合利普希茨條件，對於f 最小的常數K 稱為 f 的利普希茨常數。 [1] 
若K < 1，f 稱為收縮映射。
利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：
給定兩個度量空間
。若對於函數
，存在常數K 使得
則説它符合利普希茨條件。 [2] 
若存在K ≥ 1使得
則稱 f 為雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

利普希茨連續定理

(此定理又稱柯西-利普希茨定理）若已知y(t)有界，f 符合利普希茨條件，則微分方程初值問題
剛好有一個解。
在應用上，t通常屬於一有界閉區間（如
）。於是y(t)必有界，故y有唯一解。

利普希茨連續例子

符合利普希茨條件，K=14。
不符合利普希茨條件，當
。
定義在所有實數值的
符合利普希茨條件，K=1。
符合利普希茨條件，K=1。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
不符合利普希茨條件，
。不過，它符合赫爾德條件。
當且僅當處處可微函數f的一次導函數有界，f符利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有C1函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

利普希茨連續性質

符合利普希茨條件的函數一致連續，也連續。
bi-Lipschitz函數是單射的。
Rademacher定理：若
且A為開集，
符合利普希茨條件，則f幾乎處處可微。 [1] 
Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間
符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的
，使得F的利普希茨常數和f的相同，且
。 [1]  [2] 
參考資料
  • 1.    J.T. Schwartz．Nonlinear functional analysis.． New York：Gordon and Breach Science Publishers，1969
  • 2.    M. D. Kirszbraun.．Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen：Fund. Math.，1934：77–108