中值定理

函數與其導數是兩個不同的函數；而導數只是反映函數在一點的局部特徵；如果要了解函數在其定義域上的整體性態，就需要在導數及函數間建立起聯繫，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函數值之間的橋樑，是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理，建立了函數值與導數值之間的定量聯繫，因而可用中值定理通過導數去研究函數的性態；中值定理的主要作用在於理論分析和證明；同時由柯西中值定理還可導出一個求極限的洛必達法則。中值定理的應用主要是以中值定理為基礎，應用導數判斷函數上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點等項的重要性態。從而能把握住函數圖象的各種幾何特徵。在極值問題上也有重要的實際應用。 ^[1] 

微積分是與實際應用聯繫着發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷髮展。

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化着。因此在數學中引入了變量的概念後，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。

由於函數概念的產生和運用的加深，也由於科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之後產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以説它是繼歐氏幾何後，全部數學中的最大的一個創造。

微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。十七世紀後半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，但是理論基礎是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經擁有的代數公式進行演算，所以，直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數理論，這門學科才得以嚴密化。

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微積分學基本定理指出，求不定積分與求導函數互為逆運算（把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導數值與自變量增量的乘積），這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。

學習微積分學，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因為，代數是人們已經熟悉的概念，但是，代數無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數處理代表無限的量，於是精心構造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，繞過了用一個數除以0的麻煩，而引入了一個過程任意小量。就是説，除數不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區間內，都小於該任意小量，我們就説他的極限為該數。

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對於原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯繫其它，只從式子本身所表達的意思去證明。已知有這樣一個推論，若函數

在區間I上可導，且連續，則

為I上的一個常量函數。它的幾何意義為：斜率處處為0的曲線一定是平行於x軸的直線。這個推論的證明應用拉格朗日中值定理。

無窮小（大）量階的比較時，看到兩個無窮小（大）量之比的極限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。解決這種極限的問題通常要用到洛比達法則。這是法則的內容，而在計算時往往都是直接的應用結論，沒有注意到定理本身的證明，而這個定理的證明也應用到了中值定理 ^[2]  。

在一元函數微分學中，微分中值定理是應用函數的局部性質研究函數在區間上整體性質的重要工具，它在數學分析中佔有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。拉格朗日微分中值定理有許多推廣，這些推廣有一些基本的特點，這就是把定理條件中可微性概念拓寬，然後推廣微分中值表達公式。微分中值定理的應用為數學的進一步發展提供了廣闊的天地。

中值定理是微積分學中的基本定理，由四部分組成。

內容是説一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。中值定理又稱為微分學基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改變量定理等。

如果函數

滿足在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b）內可導，那麼在（a,b）內至少有一點

，使等式

成立。

如果函數

滿足在閉區間[a,b]上連續；在開區間（a,b）內可導；在區間端點處的函數值相等，即

，那麼在（a,b）內至少有一點

，使得

；

補充：幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 （方程為）是一條連續的曲線弧，除端點外處處有不垂直於 軸的切線，且兩端點的縱座標相等。而定理結論表明，弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。

如果函數

及

滿足:

⑴在閉區間[a,b]上連續；

⑵在開區間（a,b）內可導；

⑶對任一x屬於(a,b），F'(x)不等於0

那麼在（a,b) 內至少有一點

，使等式

成立。也叫Cauchy中值定理。

若令u=f(x),v=g(x），這個形式可理解為參數方程，而

則是連接參數曲線的端點斜率，

表示曲線上某點處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦，這一點Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x）表示的曲線，還適用於參數方程表示的曲線。

當柯西中值定理中的g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 ^[3] 

f(x）在a到b上的積分等於

），其中c滿足a<c<b.

如果函數 f(x) 在積分區間[a, b]上連續，則在 [a, b]上至少存在一個點 ξ，使下式成立

其中(a≤ξ≤b)。 ^[4] 

17 世紀由牛頓和萊布尼茨創立的微積分 , 為數學的研究提供了強有力的工具。此後的大部分數學家的注意力都被這有着無限發展前途的學科所吸引。從此有了數學家們對微積分的研究。在微積分建立之前，人們就開始對微分中值定理進行了研究。 ^[6] 

早在 1637 年 ,法國著名數學家 Fermat 在一文《求最大值和最小值的方法》中首次給出了費馬定理。 ^[6] 

在 1691 年，法國著名數學家 Rolle 在一文《方程的解法》中首次給出了多項式形式的羅爾中值定理。 ^[6] 

在 1797 年 , 法國偉大的數學家 Lagrange 在一書《解析函數論》中首次給出了拉格朗日中值定理 , 並給出了其原始的證明。 ^[6] 

但真正意義上系統研究微分中值定理的是法國偉大的數學家 Cauchy,他給出了數學分析理論的嚴格化 , 他的三部曠世鉅著《分析教程》,《無窮小計算教程概論》(1823 年 ),《微分計算教程》(1829 年 ), 進行了嚴格化定義 , 重構了微積分理論。他首先闡述了微分中值定理的重要作用 ,使其成為微分學的核心定理。 ^[6] 

在《無窮小計算教程概論》一文中 ,Cauchy 首先對拉格朗日定理進行了嚴格的證明 , 又在《微分計算教程》一文中將拉格朗日定理推廣為柯西中值定理。因此發現了最後一個漂亮的微分中值定理。 ^[6] 

羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理在邏輯上是等價的。但在形式上，拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理都是羅爾定理的推廣，柯西中值定理和泰勒中值定理同時也是拉格朗日中值定理的推廣。羅爾定理就是導數的零點定理。這些中值定理中，以羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理出現數學考題最多。 ^[5]