赫爾德空間

赫爾德空間是在偏微分方程理論中常用到的一類函數空間。

設Ω是Rⁿ中的一個區域（連通開集），α(0<α≤1)是常數。如果對Ω中定義的函數u(x)，存在正常數C，使得

則稱u在Ω中具有指數α的赫爾德連續性，並稱

為u在Ω中的α赫爾德係數。

如果u(x)在Ω的所有緊子集中具有指數α的赫爾德連續性，則稱u(x)在Ω中具有指數α的局部赫爾德連續性。

設k是非負整數，在Ω中具有所有不超過k階連續偏導數的函數集合C^k(Ω)中，所有k階偏導數在口中具有指數α的局部赫爾德連續性的函數所成的子空間稱為赫爾德空間C^k,α(Ω)。

在

上具有所有不超過k階連續偏導數的函數集合

中，所有k階偏導數在Ω中具有指數α的赫爾德連續性的函數所成的子空間稱為赫爾德空間

。為簡單起見，通常記

對有界區域Ω，赫爾德空間關於範數

是巴拿赫空間。 ^[1] 

數學中，函數空間指的是從集合X 到集合 Y 的給定種類的函數的集合。其叫做空間的原因是在很多應用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。

經典分析學研究中出現了許多重要的函數空間。對一些類型的函數空間，現已取得相當豐富的理論成就。