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楊氏不等式
鎖定
楊氏不等式（Young‘s Inequality）又稱Young不等式 ，是加權算術幾何平均值不等式的一種特例，楊氏不等式也是證明赫爾德不等式的一個快捷方法。
[1-2]
楊氏不等式一般形式
假設
是非負實數，
，那麼
等號成立當且僅當
.
楊氏不等式加權形式
假設
是非負實數，
，
，那麼
楊氏不等式推廣
楊氏不等式證明
楊氏不等式方法1
若
，不等式顯然成立。
若
，令
,
，則該不等式變為：
設
，則
楊氏不等式方法2
如果a>0且b>0，而數p,q滿足：1/p+1/q=1，那麼
可以先證明：
時，
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
當0<α<1時;
當x∈(0,1);f'(x)>0;
當x∈(1,+∞);f'(x)<0;
當α>1或α<0時，
當x∈(0,1)時，f'(x)<0，
當x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，
∴f(x)在x=1處取最小值，又f(1)=0，∴f(x)≥0
代入，x=a/b,α=1/p，得
當p>1時，即α<1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同時乘以b，得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
當p<1時，即α>1或α<0:
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同時乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b
證明2：令f（a）=a^p/p+b^q/q-ab，
f′（a）=a^（p-1）-b
令f′（a）
0，分2種情況
1、p>1，a
b^（1/（p-1））
f（a）
f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q
ab
2、p<1,a
b^（1/（p-1））
f（a）
f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q
ab
證畢.
楊氏不等式方法3
由於
,
當
結論顯然成立，當
，即
,
,
∴
（由加權平均值不等式）
證畢.
楊氏不等式方法4
兩邊求自然對數，原不等式即為
而
為上凸函數，由加權琴生不等式，得
得證.
