誤差平方和

在單因素方差分析(見下文)中，為了使造成各隨機變量X_ij之間的差異的大小能定量表示出來，引入：

記在水平A_i下樣本和為

，其樣本均值為

因素A下的所有水平的樣本總均值為

為了通過分析對比產生樣本

之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引入偏差平方和來度量各個體間的差異程度

因S_T能反映全部試驗數據之間的差異，所以又稱為總偏差平方和。

如果H₀成立，則r個總體間無顯著差異，也就是説因素A對指標沒有顯著影響，所有的X_ij可以認為來自同一個總體

，各個X_ij間的差異只是由隨機因素引起的，若H₀不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異，如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認為因素A對指標有顯著影響，否則，認為無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然後進行比較。

記

則有下面的定理：

定理1(平方和分解定理)令

，有

S_E表示在水平A_i下樣本值與樣本均值之間的差異，它是由隨機誤差引起的，稱為誤差平方和或組內平方和。S_A反映在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為因素A的效應平方和或組間平方和，S_T=S_E+S_A式就是我們所需要的平方和分解式。

如果H₀成立，則所有的X_ij都服從正態分佈

，且相互獨立，則有：

(1)

，且

，所以

為σ²的無偏估計；

(2)

，且

，因此

為σ²的無偏估計；

(3)S_E與S_A相互獨立；

(4)

。

在方差分析中，我們將要考察的對象的某種特徵稱為試驗指標，影響試驗指標的條件稱為因素，因素可分為兩類，一類是人們可以控制的(如原材料、設備、學歷、專業等因素)；另一類人們無法摔制的(如員工素質與機遇等因素)。下面所討論的因素都是指可控制因素。每個因素又有若干個狀態可供選擇，因素可供選擇的每個狀態稱為該因素的水平。如果在一項試驗中只有一個因素在改變，則稱為單因素試驗；如果多於一個因素在改變，則稱為多因素試驗。因素常用大寫字母A，B，C，…來表示，因素A的水平用

來表示，下面對單因素試驗進行討論 ^[2]  。

設單因素A具有r個水平，分別記為

，在每個水平

下，要考察的指標可以看成一個總體，故有r個總體，並假設：

(1)每個總體均服從正態分佈，即

；

(2)每個總體的方差σ²相同；

(3)從每個總體中抽取的樣本

相互獨立，i=1，2，…，r。

此處的

均未知，將假設及相關符號列表，如表1所示 ^[1]  。

那麼，要比較各個總體的均值是否一致，就是要檢驗各個總體的均值是否相等，設第i個總體的均值為μ_i，則

假設檢驗為

；

備擇假設為

不全相等。

在水平

下，進行

次獨立試驗，得到試驗數據

，記數據的總個數為

。

由假設有

(

未知)，即有

，故

可視為隨機誤差。記

，從而得到如下數學模型：

，各個

相互獨立，μ_i和

未知。

方差分析的任務：

(1)檢驗該模型中r個總體

的均值是否相等；

(2)作為未知參數

的估計。

為了更仔細地描述數據，常在方差分析中引入總平均和效應的概念，將

各均值的加權平均值

記為μ，即

其中

再引入

δ_i表示在水平A_i下總體的均值μ_i與總平均μ的差異，稱其為因子A的第i個水平A_i的效應。易見，效應間有如下關係式

利用上述記號，前述數學模型可改寫為

，各個

相互獨立，μ_i和

未知。

而前述檢驗假設則等價於

：

不全為零．

這是因為當且僅當

時，

，即

。