獨立試驗

設有事件A與事件B，如果

，則稱A與B是相互獨立的。

將試驗E重複進行n次，若各次試驗的結果互不影響，則稱這n次試驗是相互獨立的。

設A、B為任意兩個隨機事件，且P(A)>0。則A與B相互獨立

P(B|A)=P(B)。

，

，…，

相互獨立，則其中任兩個事件獨立。但反之則不然，兩兩獨立並不能保證整組獨立 ^[1]  。

特徵：每次試驗只有兩種可能結果；在相同的條件下，獨立地重複該試驗n次 ^[2]  。

具有上述特徵的試驗稱為n重獨立試驗，統計學家伯努利（Bernolli）首先注意並研究了這類試驗，故亦稱之為伯努利試驗。

伯努利試驗是一個有兩種結果的簡單試驗，它的結果是成功或失敗，黑或白，開或關，沒有中間的立場，沒有妥協的餘地。這樣的例子也特別多，例如我們觀察從一副紙牌中拿出一張牌，它或者是黑色或者是紅色；接生一個嬰兒，或者是男孩或者是女孩；我們經歷24小時的一天，或者遇到流星或者遇不到流星。在每一種情況下，很方便設計一種結果“成功”，另外一種結果為“失敗”。例如選出一張黑色牌，生出一個女兒，沒有遇到流星都可以表示為“成功”。然而，從概率的角度看，選擇紅牌、兒子、遇到流星為成功也是不會產生差異的。在這種場合下，“成功”是沒有價值取向的色彩。單個伯努利試驗是沒有多大意義的，然而，當我們反覆進行伯努利試驗，去觀察這些試驗有多少是成功的，多少是失敗的，事情就變得有意義了，這些累計記錄包含了很多潛在的非常有用的信息 ^[1]  。

設在一次試驗中，事件A發生的概率為p（0<p<1），則在n重伯努利試驗中，事件A恰好發生 k 次的概率為：

，k=0，1，2...n。

推論：設在一次試驗中，事件A首次發生的概率為p(0<p<1)，則在伯努利試驗序列中，事件A在第 k 次試驗中才首次發生的概率為

，k=0，1，2...n ^[1]  。

一般地，在n次獨立重複試驗中，用ξ表示事件A發生的次數，如果事件發生的概率是p，則不發生的概率 q=1-p，N次獨立重複試驗中發生k次的概率是：P(ξ=K)=

(k=0，1，2，3…n），那麼就説ξ服從二項分佈，其中P稱為成功概率，記作：ξ~B(n，p)。

（1）二項分佈的期望：E（ξ）=np；

（2）二項分佈的方差：D（ξ）=npq ^[3]  。

在第n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率，詳細的説是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。如果事件發生的概率是p，則不發生的概率q=1-p，則P(ξ=K) =

。具有這種分佈列的隨機變量，稱為服從參數p的幾何分佈。

（1）幾何分佈的期望E(X)=

；

（2）幾何分佈的方差D(X)=

^[3]  。

例題： ^[3]  一批產品的次品率為 5%，從中每次任取一個，檢驗後放回，再取一個， 連取 4 次。求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率。

解：這個試驗為n = 4 的獨立試驗。設 B={恰好有 2 次取到次品}，A={取到次品}，則

={取到正品}，

={第i次抽樣抽到次品}。p=P(A)=0.05，q=P(

)=0.95，因為

，

，

，

相互獨立，所以 P(B)=

=

=0.0135。