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二項分佈

鎖定
在n次獨立重複的伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p。用X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數，則X的可能取值為0，1，…，n,且對每一個k（0≤k≤n）,事件{X=k}即為“n次試驗中事件A恰好發生k次”，隨機變量X的離散概率分佈即為二項分佈（Binomial Distribution）。 [1] 
中文名
二項分佈 [1] 
外文名
Binomial Distribution [1] 
提出者
伯努利 [1] 
期望與方差
np、np（1-p） [1] 
應用學科
統計學 [1] 
見載刊物
《物理學名詞（第二版）》 科學出版社
公佈時間
1996年 [7] 

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 期望方差
  3. 3 協方差
  1. 4 圖形特點
  2. 5 關係
  3. 6 應用
  1. ▪ 經濟學
  2. ▪ 管理學
  3. ▪ 醫學

二項分佈定義

在概率論和統計學中，二項分佈是n個獨立的成功/失敗試驗中成功的次數的離散概率分佈，其中每次試驗的成功概率為p。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當n=1時，二項分佈就是伯努利分佈。 [2] 
一般地，如果隨機變量
服從參數為
和
的二項分佈，我們記為
或
。n次試驗中正好得到k次成功的概率由概率質量函數給出： [2] 
式中k=0，1，2，…，n,
是二項式係數（這就是二項分佈名稱的由來），又記為
或者
。 該公式可以用以下方法理解：我們希望有k次成功(p)和n−k次失敗(1 −p)。並且，k次成功可以在n次試驗的任何地方出現，而把k次成功分佈在n次試驗中共有
個不同的方法。 [2] 
不同參數下的二項分佈概率分佈 不同參數下的二項分佈概率分佈

二項分佈期望方差

如果
（也就是説，X是服從二項分佈的隨機變量），那麼X的期望值為： [3] 
X的方差為： [3] 
這個事實很容易證明。首先假設有一個伯努利試驗。試驗有兩個可能的結果：1和0，前者發生的概率為p，後者的概率為1−p。該試驗的期望值等於μ= 1 · p+ 0 · (1−p) =p。該試驗的方差也可以類似地計算：σ2= (1−p)2·p+ (0−p)2·(1−p) =p(1 − p)。 [3] 
一般的二項分佈是n次獨立的伯努利試驗的和。它的期望值和方差分別等於每次單獨試驗的期望值和方差的和： [3] 

二項分佈協方差

如果有兩個服從二項分佈的隨機變量X和Y，我們可以求它們的協方差。利用協方差的定義，當n= 1時我們有： [2] 
E(XY)為當X和Y都等於1時的概率，而E(X)和E(Y)分別為X= 1和Y= 1的概率。定義
為X和Y都等於1的概率，便得到： [2] 
對於n次獨立的試驗，我們便有: [2] 
如果X和Y是相同的變量，便化為前文所述的的二項分佈方差公式。 [2] 

二項分佈圖形特點

從圖1中可以看出，對於固定的n以及p，當k增加時，概率P{X=k}先是隨之增加直至達到最大值，隨後單調減少。可以證明，一般的二項分佈也具有這一性質，且: [1] 
  1. 當（n+1）p不為整數時，二項概率P{X=k}在k=[(n+1)p]時達到最大值； [1] 
  2. 當（n+1）p為整數時，二項概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時達到最大值。 [1] 
注：[x]為取整函數，即為不超過x的最大整數。 [1] 
圖1 二項分佈概率分佈 圖1 二項分佈概率分佈
圖2 二項分佈概率分佈 圖2 二項分佈概率分佈

二項分佈關係

兩個二項分佈的和
如果X~ B(n,p)和Y~ B(m,p)，且X和Y相互獨立，那麼X+Y也服從二項分佈；它的分佈為： [4] 
伯努利分佈
伯努利分佈是二項分佈在n= 1時的特殊情況。X~ B(1,p)與X~ Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二項分佈B(n,p)都是n次獨立伯努利試驗的和，每次試驗成功的概率為p。 [4] 
泊松近似
當試驗的次數趨於無窮大，而乘積np固定時，二項分佈收斂於泊松分佈。因此參數為λ=np的泊松分佈可以作為二項分佈B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足夠大，而p足夠小，np不是很小。 [4] 
正態近似
n=6、p=0.5時的二項分佈及正態近似 n=6、p=0.5時的二項分佈及正態近似
如果n足夠大，那麼分佈的偏度就比較小。在這種情況下，如果使用適當的連續性校正，那麼B(n,p)的一個很好的近似是正態分佈:
當n越大（至少20）且p不接近0或1時近似效果更好。不同的經驗法則可以用來決定n是否足夠大,以及p是否距離0或1足夠遠,其中一個常用的規則是np和n(1 −p)都必須大於 5。 [4] 

二項分佈應用

在生產實踐過程中會有來自很多方面因素的影響，所有這些因素的綜合作用導致過程動盪，從而體現出一些質量特性的不穩定性. 概率論與數理統計一些統計技術可以幫助我們瞭解和監控這些波動，幫助我們朝着有利於我們的方向發展。在生產實踐中有一類現象，我們研究的對象只產生兩種可能結果，他們的分佈規律就是二項分佈，二項分佈應用很廣泛。 [5] 

二項分佈經濟學

在保險業務中，我們經常需要根據實際情況適當調整保費問題，以保證保險公司的利潤達到一定要求，同時保險公司的業務量也達到要求，對於這一類問題，可以對已知實際情況做一定的概率分析。例如某保險公司有10000客户購買人身意外保險，該公司規定每人每年付公司120元 ，若遇意外死亡，公司將賠償10000元。若每人每年死亡率為0.006，從而不難利用二項分佈算出公司獲利、虧本的各種情形了。實際上對於隨機現象，瞭解其分佈非常有意義，利用概率論討論得到的結果對保險公司有一定的指導意義。 [5] 

二項分佈管理學

管理學在生產實踐過程中我們經常需要配備一些設備，但是設備經常需要維修。為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人（工人配備多了就浪費，配備少了又影響生產）例如現有同類型設備300台，各台工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01。假設通常情況下一台設備的故障由一個人處理，可由二項分佈算出至少需配備多少工人，才能保證設備發生故障但不能及時維修的概率小於0.01。 [5] 

二項分佈醫學

在醫學領域中，有一些隨機事件是隻具有兩種互斥結果的離散型隨機事件，稱為二項分類變量（dichotomous variable），如對病人治療結果的有效與無效，某種化驗結果的陽性與陰性，接觸某傳染源的感染與未感染等。二項分佈（binomialdistribution）可以對這類只具有兩種互斥結果的離散型隨機事件的規律性進行描述。 [6] 
參考資料