幾何分佈

幾何分佈（Geometric distribution）是離散型概率分佈。其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細地説，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。幾何分佈是帕斯卡分佈當r=1時的特例。

在伯努利試驗中，成功的概率為p，若ξ表示出現首次成功時的試驗次數，則ξ是離散型隨機變量，它只取正整數，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0

在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，試驗進行到事件A出現時停止，此時所進行的試驗次數為X，其分佈列為：

此分佈列是幾何數列的一般項，因此稱X服從幾何分佈，記為X ～ GE(p) 。

實際中有不少隨機變量服從幾何分佈，譬如，某產品的不合格率為0.05，則首次查到不合格品的檢查次數X ～ GE(0.05) 。

它分兩種情況：

（1）為得到1次成功而進行n次伯努利試驗，n的概率分佈，取值範圍為1，2，3，...；

這種情況的期望和方差如下：

（2）m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分佈，取值範圍為0，1，2，3，...。

這種情況的期望和方差如下：

比如，假設不停地擲骰子，直到得到1。投擲次數是隨機分佈的，取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... }，並且是一個p= 1/6的幾何分佈。

概率為p的事件A，以X記A首次發生所進行的試驗次數，則X的分佈列：

，

具有這種分佈列的隨機變量X，稱為服從參數p的幾何分佈，記為X~Geo(p)。

幾何分佈的期望

，方差

。 ^[1] 

現進行如下試驗，在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，試驗進行到事件A和

都出現後停止，此時所進行的試驗次數為X，則有：

其中，q=1-p，k=2，3，...。

因此，上式可以成為一個分佈列，此分佈列是兩個幾何數列一般項的和，在這裏稱X服從兩事件下推廣的幾何分佈，記為X ～ PGE(2；p) ，數學期望為：

。當P =

時，E(X) 取最小值，此時E(X)= 3．

由於

，因此可以得到：

現進行獨立重複試驗，每次試驗會有三個事件A、B、C中的其中一個發生，記每次試驗中事件A、B、C發生的概率分別為

，

且

。試驗進行到事件A、B、C都發生後停止，此時所進行的試驗次數為X，則有：

其中，k=3，4，...。因此上式也可以作為一個分佈列，此分佈列是六個幾何數列一般項的和與差，稱X服從三事件下推廣的幾何分佈，記為X ～ PGE(3；

)。數學期望為：

容易驗證，當

時，E(X)有最小值，此時E(X)=5.5 ^[1]  。