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獨立性
(統計學)
鎖定
設A,B為隨機事件,若同時發生的概率等於各自發生的概率的乘積,則A,B相互獨立。
一般地,設A1,A2,...,An是n(n≥2) 個事件,如果對於其中任意2個,任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率,都等於各事件概率之積,則稱A1,A2,...,An相互獨立。
獨立性兩個事件
獨立性定義1
若
兩事件滿足等式
獨立性注意點
(1) 概率為零的事件與任何事件相互獨立;
獨立性性質定理
定理1 設
是兩事件。且
,若
相互獨立。則P(A|B)=P(A),反之亦然。
定理2 若事件A與B相互獨立,則
與
,
與
,
與
也相互獨立。
證明: 這裏只證明
與
相互獨立。
由
,
得
獨立性有限事件
三個事件相互獨立
設
為3個事件,如果滿足等式
n個事件相互獨立
一般地,設
是
個事件,如果對於其中任意2個,任意3個,...,任意
個事件的積事件的概率,都等於各事件概率之積,則稱
相互獨立。
兩兩獨立
設
是
個事件,若其中任意兩個事件之間均相互獨立,則稱
兩兩獨立。
注:相互獨立一定兩兩獨立、兩兩獨立不一定相互獨立。
則
故有
獨立性性質
性質1
若事件
相互獨立,則其中任意
個事件也相互獨立。
由獨立性定義可直接推出性質1。 ’
性質2
若n個事件
相互獨立,則將
中任意
個事件換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨立。
獨立性關係
獨立性例題解析
解: 設A={甲炮擊中敵機},B={乙炮擊中敵機},則A U B={敵機被擊中},由題意知,P(A)=0.8,P(B)=0.7,由於A,B相互獨立。故
例2 有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.7,並假設每批種子發芽與否是相互獨立的,從兩批種子中各隨機地抽取一粒,求:
(1)兩粒都能發芽的概率;
(2)至少有一粒種子能發芽的概率;
(3)恰好有一粒種子能發芽的概率。
解: 設A={取自甲批種子中的某粒種子能發芽},B={取自乙批種子中的某粒種子能發芽},則所求的概率分別為:
。
由於
,且
相互獨立,故有:
例3 甲、乙兩人進行網球比賽。每局甲勝的概率為p,且
.試問對甲而言,採用三局二勝制有利,還是採用五局三勝制有利?設各局勝負相互獨立。
解: 採用三局二勝制,甲最終獲勝,其勝局的情況是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”,而這三種結局互不相容,於是由獨立性得甲最終獲勝的概率為
。
採用五局三勝制,甲最終獲勝,至少需比賽3局(可能賽3局.也可能賽4局或5局),且最後一局必須是甲勝,而前面甲需勝二局。例如.共賽4局,則甲的勝局情況是:“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”、且這三種結局互不相容,由獨立性得甲最終獲勝的概率為:
- 參考資料
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- 1. 劉文斌.概率論與數理統計 第2版:同濟大學出版社,2016.01
- 2. 盛驟, 謝式千, 潘承毅.概率論與數理統計(第三版).北京:高等教育出版社,2001:131
- 3. 獨立性 .911查詢[引用日期2021-07-06]