假設檢驗

假設檢驗的基本思想是“小概率事件”原理，其統計推斷方法是帶有某種概率性質的反證法。小概率思想是指小概率事件在一次試驗中基本上不會發生。反證法思想是先提出檢驗假設，再用適當的統計方法，利用小概率原理，確定假設是否成立。即為了檢驗一個假設H₀是否正確，首先假定該假設H₀正確，然後根據樣本對假設H₀做出接受或拒絕的決策。如果樣本觀察值導致了“小概率事件”發生，就應拒絕假設H₀，否則應接受假設H₀ ^[1]  。

假設檢驗中所謂“小概率事件”，並非邏輯中的絕對矛盾，而是基於人們在實踐中廣泛採用的原則，即小概率事件在一次試驗中是幾乎不發生的，但概率小到什麼程度才能算作“小概率事件”，顯然，“小概率事件”的概率越小，否定原假設H₀就越有説服力，常記這個概率值為α(0<α<1)，稱為檢驗的顯著性水平。對於不同的問題，檢驗的顯著性水平α不一定相同，一般認為，事件發生的概率小於0.1、0.05或0.01等，即“小概率事件” ^[1]  。

1、提出檢驗假設又稱無效假設，符號是H₀；備擇假設的符號是H₁ ^[2]  。

H₀：樣本與總體或樣本與樣本間的差異是由抽樣誤差引起的 ^[2]  ；

H₁：樣本與總體或樣本與樣本間存在本質差異 ^[2]  ；

預先設定的檢驗水準為0.05；當檢驗假設為真，但被錯誤地拒絕的概率，記作α，通常取α=0.05或α=0.01 ^[2]  。

2、選定統計方法，由樣本觀察值按相應的公式計算出統計量的大小，如X₂值、t值等。根據資料的類型和特點，可分別選用Z檢驗，T檢驗，秩和檢驗和卡方檢驗等 ^[2]  。

3、根據統計量的大小及其分佈確定檢驗假設成立的可能性P的大小並判斷結果。若P>α，結論為按α所取水準不顯著，不拒絕H₀，即認為差別很可能是由於抽樣誤差造成的，在統計上不成立；如果P≤α，結論為按所取α水準顯著，拒絕H₀，接受H₁，則認為此差別不大可能僅由抽樣誤差所致，很可能是實驗因素不同造成的，故在統計上成立。P值的大小一般可通過查閲相應的界值表得到 ^[2]  。

4、注意問題

1、作假設檢驗之前，應注意資料本身是否有可比性 ^[2]  。

2、當差別有統計學意義時應注意這樣的差別在實際應用中有無意義 ^[2]  。

3、根據資料類型和特點選用正確的假設檢驗方法 ^[2]  。

4、根據專業及經驗確定是選用單側檢驗還是雙側檢驗 ^[2]  。

5、判斷結論時不能絕對化，應注意無論接受或拒絕檢驗假設，都有判斷錯誤的可能性 ^[2]  。

t檢驗是英國統計學家Cosset在1908年以筆名“" student”發表的，因此亦稱 student t檢驗( Student' s t test)。t檢驗是用t分佈理論來推斷差異發生的概率，從而判定兩總體均數的差異是否有統計學意義，主要用於樣本含量較小(如n<60)，總體標準差σ未知，呈正態分佈的計量資料。若樣本含量較大(如n>60)，或樣本含量雖小，但總體標準差σ已知，則可採用u檢驗(亦稱：z檢驗)。但在統計軟件中，無論樣本量大小，均採用t檢驗進行統計分析 ^[3]  。

t檢驗和u檢驗的適用條件：①樣本來自正態總體或近似正態總體；②兩樣本總體方差相等，即具有方差齊性。在實際應用時，如與上述條件略有偏離，對結果亦不會有太大影響；③兩組樣本應相互獨立。根據比較對象的不同，t檢驗又分為單樣本t檢驗、配對t檢驗和兩獨立樣本t檢驗 ^[3]  。

採用F檢驗檢驗方差齊性，要求樣本均來自正態分佈的總體。檢驗統計量F等於兩樣本的較大方差

比較小方差

，其檢驗統計量公式為： ^[4] 

數理統計理論證明：當H₀（

）成立時，

服從F分佈。F分佈曲線的形狀由兩個參數

和

決定，F的取值範圍為0~∞ ^[4]  。

統計學家為應用的方便編制了的F分佈臨界值表，求得F值後，查F界值表得P值（F值愈大，P值愈小），然後按所取的α水準做出推斷結論 ^[4]  。

由於第一個樣本的方差既可能大於第二個樣本的方差，也可能小於第二個樣本的方差，故兩樣本方差比較的F檢驗是雙側檢驗 ^[4]  。

假設檢驗的基本思想是利用“小概率事件”原理做出統計判斷的，而“小概率事件”是否發生與一次抽樣所得的樣本及所選擇的顯著性水平α有關，由於樣本的隨機性及選擇顯著性水平α的不同，因此檢驗結果與真實情況也可能不吻合，從而假設檢驗是可能犯錯誤的 ^[1]  。

一般地，假設檢驗可能犯的錯誤有如下兩類 ^[1]  ：

①當假設H₀正確時，小概率事件也有可能發生，此時我們會拒絕假設H₀。因而犯了“棄真”的錯誤，稱此為第一類錯誤，犯第一類錯誤的概率恰好就是“小概率事件”發生的概率α，即 ^[1] 

P{拒絕H₀/H₀為真}=α

②當假設H₀不正確，但一次抽樣檢驗未發生不合理結果時，這時我們會接受H₀，因而犯了“取偽”的錯誤，稱此為第二類錯誤，記β為犯第二類錯誤的概率，即 ^[1] 

P{接受H₀/H₀不真}=β

理論上，自然希望犯這兩類錯誤的概率都很小。當樣本容量n固定時，α、β不能同時都小，即α變小時，β就變大；而β變小時，α就變大。一般只有當樣本容量n增大時，才有可能使兩者變小。在實際應用中，一般原則是：控制犯第一類錯誤的概率，即給定α，然後通過增大樣本容量n來減小B。這種着重對第一類錯誤的概率α加以控制的假設檢驗稱為顯著性檢驗 ^[1]  。

在雷達檢測中，目標是產生假設的源，它可使用兩個假設：H₁和H₀，分別表示目標存在(H₁)和不存在(H₀)。這是二元簡單假設檢驗。二元數字通信問題也是簡單假設檢驗。如果假設中含有目標未知參量，則是複合假設檢驗。m元通信問題也是複合假設檢驗。如果未知參量是隨機變化的，則是隨機參量信號的假設檢驗 ^[5]  。

通信系統和雷達系統常用的最佳準則，是最小錯誤概率準則，即最大後驗概率準則。以雷達檢測為例：目標是源，它可使用的兩個假設是H₁和H₀。接收端收到樣本X(雷達回波)後，判定H₁為真（目標存在），或判定H₀為真（目標不存在概率可分別表示為p(H₁/x)和p(H₀/x)，稱為後驗概率。最大後驗概率準則的判決規則是，若 ^[5] 

則判定H₁為真(選擇H₁)；否則判定H₀為真 ^[5]  。