舊量子論

馬克斯·普朗克對於光波的發射和吸收的研究，點燃了舊量子論。後來，愛因斯坦發表了固體比熱的傑作。緊接着，應用量子原理於原子運動，彼得·德拜解釋了比熱的異常現象。這些貢獻開啓了舊量子論如火如荼的發展。

1913年，玻爾發表了對應原理。應用這原理，他又建構了氫原子的玻爾模型，成功地解釋出氫原子的發射譜線。 ^[1] 

整個1910年代，一直到1920年代中期，物理學家應用舊量子論為一個解析原子問題的嶄新利器。但是有成功也有失敗，效果並不一致。在這期間，科學家知曉了分子的旋轉和振動譜線，也發現了電子自旋；但這些也引起了半整數量子數的困惑。愛因斯坦提出了零點能量理論。阿諾·索末菲半經典地量子化相對論性氫原子。克拉莫給予了斯塔克效應(Stark effect)一個合理的解釋。薩特延德拉·玻色和愛因斯坦正確地找到了光子的量子統計。

於1924年，克拉莫發表了量子色散理論，藉着運動軌道的傅里葉分量，可以計算從一個量子態躍遷至另一個量子態的概率。通過與海森堡的合作，這點子被延伸為一個半經典的，以類似矩陣的形式來描述的原子躍遷概率。海森堡繼續這研究，以這躍遷方法來重新表述量子理論，原創出矩陣力學。

同樣於1924年，德布羅意提出物質的波動理論。在1926年，薛定諤找到了一個量子波動方程，能夠清楚明瞭，前後一致地複製舊量子論的所有成果。後來，薛定諤證明了他的波動力學和海森堡矩陣力學是等價的。波動力學和矩陣力學共同結束了舊量子論的時代。 ^[2] 

舊量子論是一些比現代量子力學還早期，出現於1900年至1925年之間的量子理論。雖然並不很完整或一致，這些啓發式理論是對於經典力學所做的最初始的量子修正。舊量子論最亮麗輝煌的貢獻無疑應屬玻爾模型。自從夫朗和斐於1814年發現了太陽光譜的譜線之後，經過近百年的努力，物理學家仍舊無法找到一個合理的解釋。而玻爾的模型居然能以簡單的算術公式，準確地計算出氫原子的譜線。這驚人的結果給予了科學家無比的鼓勵和振奮，他們的確是朝着正確的方向前進。很多年輕有為的物理學家，都開始研究量子方面的物理。因為，可以得到很多珍貴的結果。

直到今天，舊量子論仍舊有聲有色地存在着。它已經轉變成一種半經典近似方法，稱為WKB近似。許多物理學家時常會使用WKB近似來解析一些極困難的量子問題。在1970年代和1980年代，物理學家Martin Gutzwiller發現了怎樣半經典地解析混沌理論之後，這研究領域又變得非常熱門。 ^[3] 

舊量子論的基本原理談到原子系統的運動是量子化的，離散的。原子系統遵守經典力學；但不是每一種運動都合法，只有那些遵守舊量子條件的運動是合法的： ^[2] 

其中，

是動量，

是對應的座標，

是整數的量子數，h是普朗克常數。

舊量子條件又稱為威耳遜-索末菲量子化定則，是由威耳遜和索末菲各自發現的。舊量子條件公式的閉路積分取於整個運動的一週期，是相空間的面積，稱為作用量。由於在這裏，作用量被量子化為以普朗克常數為單位的整數，因此，普朗克常數時常被稱為作用量的量子。

為了要符合舊量子條件，經典運動必須是可分的，意思是説，運動方程可以分為幾個獨立部分，每一個獨立部分都包含了一個不同的座標，而每一個座標的方程部分所描述的運動都是週期性的。不同部分描述的運動不一定會有同樣的週期，它們的週期甚至是互相不可通約的。可是，整個系統必須有一組可分的座標，每一個座標的方程部分都分別描述一個週期性的運動。

使用舊量子條件的動機，一個是對應原理，還有一個就是量子化的物理量必須是緩漸不變量的實際物理觀察。例如，給予諧振子的普朗克量子化定律，這兩個條件中，任意一個條件決定了量子化一個一般系統的正確經典物理量。

一維問題的解析相當容易。給予任意能量E，從能量守恆定律，可以計算出粒子的動量：

其中，V(q)是座標為q的地點的位勢。

轉向點是粒子動量消失的位置。在經典轉向點之間，將這動量的公式積分於所有q的可能值，再加入舊量子條件，就可以得到舊量子條件的方程。

假設，這問題是盒中粒子問題。則舊量子條件方程為

其中，n是正整數，L是盒子的長度。

那麼，容許的動量是

容許的離散能級是

在一根長度為 R的無質量剛杆的一端，連結著一個質量為M的粒子，稱這連結體為旋轉子。假設，剛杆的另外一端固定於一個固定點，則旋轉子可以繞着這固定點作旋轉運動。採用極座標系，這旋轉子的旋轉運動的拉格朗日量L是

其中，

是角座標。

角座標的共軛動量J是

舊量子條件要求

的週期、J，兩個物理量的乘積為普朗克常數乘以整數倍數n：

也就是説，角動量J是約化普朗克常數的整數倍數。將這舊量子條件帶入玻爾模型，就可以得到氫原子的能級！

氫原子物理的角部分只是一個旋轉子，給出量子數l、m。剩餘的徑向部分是在位勢作用下的週期性一維運動，可以解析。

給予固定值的總角動量L，一個經典開普勒問題的哈密頓量H是（為了簡化方程，重定義質量的單位和能量的單位。這樣，可以吸收兩個常數：質量和庫侖定律的係數

）：

其中，r是徑向座標，p是徑向動量。

設定能量為常數E，徑向動量是

由於位勢乃反平方連心勢，經典的電子運動軌道是橢圓。近拱點和遠拱點分別是當p=0時電子位置的徑向座標：

所以，舊量子條件是

其中，

是一個新的量子數。

經過一番運算，可以得到

將量子化的角動量

代入，稍加編排，可得能量為

兩個量子數k、l共同決定了能量。設定主量子數n：n=k+l。由於k是非負整數， l的容許值必須小於或等於n。除了某些小地方以外，這結果與玻爾模型的能級結果完全相同。

前述關於氫原子的半經典理論稱為索末菲模型。其軌道是各種不同尺寸的橢圓軌道處於離散的傾斜平面。索末菲模型預測，原子沿着某直軸的磁矩，只能給出離散值。這預測似乎與旋轉不變性相矛盾，但是卻被施特恩-格拉赫實驗證實是正確的。

舊量子論只能適用於特定的力學系統，能夠用週期性的作用量-角度變量來分離的特別力學系統。舊量子論無法處理輻射的發射和吸收。雖然這樣，亨德里克·克拉莫(Hendrik Kramers)找到了一個啓發式，描述怎樣計算輻射的發射和吸收。

克拉莫建議，應該傅里葉分析一個量子系統的軌道，將軌道依照軌道頻率的倍數分解成調和函數：

其中，下標n是軌道的量子數，在索末菲模型裏，代表n,l,m量子數組，

是軌道的角頻率，k是傅里葉模態。

克拉莫注意到，只有當頻率是軌道頻率的整數倍數的時候，才會發生輻射的經典發射。在他的量子色散理論裏，他提議兩個物理態之間的躍遷可以比擬為輻射的經典發射。那麼，輻射的發射率應正比於

，如同在經典力學的應有的物理行為。克拉莫的描述並不精確，因為傅里葉分量的頻率並不完全匹配能級之間的差距。這點子後來引導出矩陣力學的發展。