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線性表出
鎖定
線性組合是線性代數的基本概念之一，設α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上線性空間V中的有限個向量，若V中向量α可以表示為α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，則稱α是向量組α₁，α₂，…，αₑ的一個線性組合，亦稱α可由向量組α₁，α₂，…，αₑ線性表示或線性表出。
[1]
- 中文名
- 線性表出
- 外文名
- linearexpression
- 所屬學科
- 數理科學
- 相關概念
- 線性組合、線性表示等
線性表出定義
對n維向量
和
，如果存在實數
，使得
設有兩個n維向量組
；如果
中每個向量
都可由
中的向量
線性表出，則稱向量組
可由向量組
線性表出。
注：(1)等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性；
線性表出例題解析
例1 已知
,試問當a，b取何值時
可以由
線性表示，並寫出其表達式。
解： 設
，按分量寫出，即有
如果b≠4，方程組無解，
不能由
線性表出。
（1）當
時，
方程組有唯一解：
,即
。
（2）當
時，
例2 設有向量組(1)：
；
(2)：
。
試問：當a為何值時，向量組(1)與(2)等價？當a為何值時，向量組(1)與(2)不等價？
分析: 所謂向量組(1)與(2)等價，即向量組(1)與(2)可以互相線性表出，如果方程組
那麼，如果對同一個a，三個方程組
解： 對
作初等行變換，有
那麼，由方程組
知，只要
方程組總有唯一解，即
時，
必可由
線性表出，而
時，方程組無解，
不能由
線性表出。
由方程組
知，
方程組總有解，即
必可由
線性表出。
由方程組
知，只要
，方程組就有解，
就可由
線性表出，
因此，當
時，向量組(2)可由向量組(1)線性表出。
反之，由於行列式
故
，三個方程組
恆有解，即
，向量組(1)總可由向量組(2)線性表出，因此，
時向量組(1)與(2)等價。
而
時，
不能由
線性表出，向量組(1)與(2)不等價。
