線性代數及其應用

《線性代數及其應用》是根據作者近五年在西南大學教授線性代數及相關課程和從事科研工作的經驗，以及閲讀科技讀物的感悟寫成的。《線性代數及其應用》力求用兼具淺白和科技的語言介紹線性代數中的抽象概念，包括線性方程組、矩陣、向量、特徵值與特徵向量以及二次型，進而揭開這些概念自身的本質特徵和概念之間關係的面紗。《線性代數及其應用》在內容編排和處理方法上採用更直接、更簡捷、更具有時代特徵的方法闡述基本理論。《線性代數及其應用》對一些術語、結論、數學家、證明思想和啓示做了註釋，不僅增加了趣味性，還加強了讀者對一些概念和思想方法的理解。此外，各章均有背景介紹和典型的應用案例分析，並精心配備了每節的例題和習題。 ^[1] 

目錄

前言

第1章 線性方程組 1

1.1 線性方程組與矩陣的有關概念 1

1.1.1 線性方程組的概念 1

1.1.2 矩陣的有關概念 2

1.1.3 同型矩陣與矩陣相等的概念 6

1.1.4 矩陣的轉置 7

1.1.5 對稱矩陣 7

1.2 線性方程組解的存在性 9

1.2.1 齊次和非齊次線性方程組 10

1.2.2 線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換和高斯消元法 12

1.2.3 行階梯形矩陣與矩陣的秩 13

1.3 線性方程組的高斯求解方法 16

1.3.1 將增廣矩陣化為行階梯形矩陣 16

1.3.2 將行階梯形矩陣化為行*簡形矩陣 18

1.4 線性方程組的應用 23

1.4.1 劍橋食譜 23

1.4.2 交通流量 24

1.4.3 決策問題 26

1.4.4 導航問題 28

習題 1 29

第2章 矩陣代數 32

2.1 矩陣的基本運算及性質 32

2.1.1 預備知識 32

2.1.2 矩陣的加減法 33

2.1.3 矩陣的數乘 34

2.2 矩陣的乘法運算 36

2.2.1 課題引入 36

2.2.2 矩陣乘法運算的定義和性質 37

2.2.3 方陣的冪 43

2.3 行列式 44

2.3.1 二階行列式 44

2.3.2 三階行列式 46

2.3.3 n 階行列式 48

2.3.4 n 階行列式的性質與計算 54

2.4 餘子式與代數餘子式 63

2.4.1 引例 63

2.4.2 伴隨矩陣 64

2.4.3 行列式按行 (列) 展開法則 65

2.5 矩陣的秩及其求法 77

2.5.1 k 階子式 77

2.5.2 矩陣的秩 77

2.5.3 矩陣秩的求法 78

2.6 求解線性方程組的克拉默法則 80

2.6.1 知識回顧||線性方程組 80

2.6.2 克拉默法則 81

2.6.3 重要定理 82

2.6.4 小結與思考 84

2.7 矩陣分塊法 85

2.7.1 課題引入 85

2.7.2 分塊矩陣的概念 85

2.7.3 分塊矩陣的運算規則 87

2.8 逆矩陣 92

2.8.1 知識回顧||矩陣運算 92

2.8.2 課題引入 92

2.8.3 逆矩陣的定義 93

2.8.4 逆矩陣的性質 97

2.9 初等變換與逆矩陣的初等變換求法 99

2.9.1 知識回顧||初等變換 99

2.9.2 初等矩陣 100

2.9.3 初等矩陣的可逆性 101

2.9.4 初等行變換法求逆矩陣 102

習題 2 106

第3章 向量空間 112

3.1 向量及其線性組合 112

3.1.1 課題引入 112

3.1.2 向量的定義 113

3.1.3 兩種特殊向量 113

3.1.4 向量同型與相等 114

3.1.5 向量的加、減、數乘運算 114

3.2 向量組、矩陣、線性方程組 115

3.2.1 向量組的定義 115

3.2.2 向量與向量組之間的關係||線性表示 116

3.2.3 線性方程組的向量表示 117

3.3 向量組的線性相關性 120

3.3.1 知識回顧||三維空間中的向量 120

3.3.2 線性相關與線性無關及其性質 120

3.3.3 向量組線性相關的判定定理 123

3.4 向量組的極大無關性 124

3.4.1 課題引入 124

3.4.2 兩個向量組等價的定義和性質 125

3.4.3 向量組的極大無關組 127

3.4.4 向量組的秩與矩陣的秩的關係 130

3.5 向量空間 131

3.5.1 向量空間的定義 131

3.5.2 基變換公式與過渡矩陣 135

3.6 線性方程組解的結構 136

3.6.1 知識回顧||線性方程組的解 136

3.6.2 解向量的定義 136

3.6.3 齊次線性方程組解的結構 137

3.6.4 非齊次方程組 Am￡nx = b(b 6= 0) 解的結構 140

3.7 線性空間與線性變換 142

3.7.1 線性空間 142

3.7.2 線性變換的引入 142

3.7.3 線性變換的性質 144

3.7.4 幾種特殊線性變換 144

習題 3 146

第4章 方陣的特徵值與特徵向量 152

4.1 方陣的特徵值與特徵向量的概念和計算 152

4.1.1 知識點複習 152

4.1.2 課題引入 153

4.1.3 特徵值與特徵向量的性質 155

4.1.4 本節小結 157

4.2 特徵值和特徵向量的求法 158

4.2.1 思維導圖 158

4.2.2 理論依據 159

4.2.3 特徵值和特徵向量的其他性質 163

4.3 相似矩陣和對角化 166

4.3.1 相似矩陣的定義和性質 166

4.3.2 矩陣相似的充分不必要條件 167

4.3.3 相似對角化問題 168

習題 4 177

第5章 二次型及其標準形 180

5.1 二次型及其矩陣表示 180

5.1.1 課題引入 180

5.1.2 二次型的矩陣表示 183

5.1.3 二次型的標準形 187

5.2 化二次型為標準形 190

5.2.1 用合同變換化二次型為標準形 190

5.2.2 用配方法求二次型的標準形 191

5.3 歐氏空間 193

5.3.1 向量的內積 193

5.3.2 歐氏空間的定義 198

5.3.3 正交矩陣 202

5.4 實對稱矩陣的對角化與二次型的標準形 204

5.4.1 化二次型為標準形 204

5.4.2 實對稱矩陣的對角化 205

5.4.3 正交變換與二次型的標準形 207

5.5 正定二次型與正定矩陣 215

5.5.1 正定二次型 215

5.5.2 正定矩陣 216

習題 5 219

參考文獻 223

附錄 中英文專業詞彙 224 ^[1] 

前言

第1章線性方程組

第2章矩陣代數

第3章向量空間

第4章方陣的特徵值與特徵向量

第5章二次型及其標準形

參考文獻

附錄中英文專業詞彙 ^[2]