第二基本形式

R³中一個參數曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像，z=f(x,y)，且平面z= 0 與曲面在原點相切。則f以及關於x和y的偏導數在 (0,0) 皆為零。從而f在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始： ^[2] 

高階項，則在 (x,y) 座標中在原點處的第二基本形式是二次型：

對S上一個光滑點p，總可以選取座標系使得座標的z-平面與S切於p，然後可以相同的方式定義第二基本形式。

一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設r=r(u,v) 是R中一個正則參數曲面，這裏r是兩個變量的光滑向量值函數。通常記r關於u和v的偏導數為r_u與r_v。參數化的正則性意味着r_u與r_v對r的定義域中任何 (u,v) 是線性無關的。等價地，叉積r_u×r_v是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場n：

第二基本形式通常寫成

在基 {r_u,r_v} 下的矩陣是

在參數化uv-平面上一個給定點處係數L,M,N由r在那個點的二次偏導數到S的法線上投影給出，利用點積可計算如下：

一個通常曲面S的第二基本形式定義如下：設r=r(u,u) 是R中一個正則參數曲面，這裏r是兩個變量的光滑向量值函數。通常記r關於u的偏導數為r_α，α = 1，2。參數化的正則性意味着r₁與r₂在r的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成S的切空間。等價地，叉積r₁×r₂是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場n：

第二基本形式通常寫作

上式使用了愛因斯坦求和約定。

在參數 (u,u)-曲面給定點處係數b_αβ由r的二次偏導數到S的法線的投影給出，利用點積可寫成：

在歐幾里得空間中，第二基本形式由 ^[3] 

給出，這裏

是高斯映射，而

是

的微分視為一個向量值微分形式，括號表示歐幾里得空間的度量張量。

更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形算子（記作S）的等價方法，

這裏

表示周圍空間的共變導數，n超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的，則第二基本形式是對稱的。

第二基本形式的符號取決於n的方向的選取。（這稱為曲面的餘定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價於給定曲面的一個定向）。

第二基本形式可以推廣到任意餘維數。在這種情形下，它是切空間上取值於法叢的一個二次型，可以定義為

這裏

表示共變導數

到法叢的正交投影。

在歐幾里得空間中，子流形的曲率張量可以描述為下列公式：

這叫做高斯方程，可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值，是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向。

對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果N是嵌入黎曼流形(M,g) 中一個流形，則N在誘導度量下的曲率張量

可以用第二基本形式與M的曲率張量

表示出來：