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主曲率
鎖定
- 中文名
- 主曲率
- 外文名
- Principal curvature
- 學 科
- 數學
- 屬 性
- 法曲率的極值
- 性 質
- 正交曲率
- 相關名詞
- 平均曲率
主曲率簡介
主曲率曲率的分類
主曲率主曲率和主方向
對曲面S : r = r(u, v)上一給定點P0(u0, v0),法曲率kn是切方向du : dv的函數,稱法曲率的每個臨界值(critical value)為曲面在這一點的主曲率;對應的方向稱為曲面在這一點的主方向。
[1]
主曲率定理
主曲率定理1
主曲率定理2
曲面上一點由方程
所確定的兩個切方向互相垂直的充要條件是
,這裏E、F、G是曲面的第一類基本量。
證明:兩個方向du:dv和δu:δv 正交的充要條件是
換一種寫法即
將已知的二次方程寫成
將
是它的兩個根,且均應滿足上述方程,由根與係數的關係知
將上式代入式(1)即得引理。
主曲率定理3
曲面在非臍點處的主曲率是曲面在這點沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
證明:設k1、k2 是兩個主曲率,不妨設k1<k2 (否則可交換座標u和v ),由Euler公式
所以
即
同樣的方法,可以證明kn≥ k1,即
這就是説,主曲率是法曲率的最大值和最小值。
主曲率高斯曲率
主曲率定義
兩個主曲率的乘積
即為高斯曲率,又稱總曲率或全曲率,反映某點上總的彎曲程度。 記為
高斯曲率k的絕對值有明顯的幾何意義。設Δб是曲面上包含P點的一小片曲面(其面積仍用Δб表示),把Δб上的每點的單位法向量n平移到E3的原點O處,那麼n的終點 的軌跡是 以O為中心的單位球面S2上的一塊區域 Δб* 。這個對應稱為高斯映射。曲面在P點鄰近彎曲程度可用Δб*( 其面積仍用Δб*表示)與Δб的面積比刻畫。
主曲率曲面造型上的應用
曲面質量和連接情況的主要依據。當曲面的高斯曲率變化比較大比較快的時候表明曲面內部變化比較大也就意味這曲面的光滑程度越低,而兩個連接的曲面如果在公共邊界上的高斯曲率發生突變就表示兩個曲面的高斯曲率並不連續,通常也叫曲率不連續,説明兩個曲面的連接沒有到達G2連接質量。
主曲率平均曲率
主曲率定義
稱(k1 + k2)/2為曲面在一點處的平均曲率,記為
它描述了曲面在一點處的平均彎曲程度,又稱為中曲率。
根據韋達定理,由主曲率的計算公式,易知
主曲率推論
曲面在橢圓點處K > 0,雙曲點處K < 0,拋物點處K = 0。