磁場力

磁場力包括磁場對運動電荷作用的洛侖茲力和磁場對電流作用的安培力。

安培力是洛侖茲力的宏觀表現。

磁場力現象中涉及三個物理量的方向：磁場方向、電荷運動方向、洛侖茲力方向；或磁場方向、電流方向、安培力方向。用左手定則的前提是認為磁場方向垂直於電荷運動方向，或垂直於電流方向。但是，磁場方向不一定垂直於電荷運動方向或電流方向，它們之間的夾角可以是任意的。

洛侖茲力一定既垂直於磁場方向又垂直於電荷運動方向，洛侖茲力垂直於磁場B和電荷運動速度v所決定的平面。安培力一定既垂直於磁場方向又垂直於電流方向，安培力垂直於B和I所決定的平面。

B與v或I平行時，洛侖茲力或安培力都不存在。

當B⊥v或B⊥I時，可以用左手定則表述3個物理量方向間的關係，知道任意2個物理量的方向可求出第3個物理量的方向。

當B與v或B與I不垂直時，根據B與v的方向或B與I的方向，可確定洛侖茲力f或安培力F的方向，但是，根據v、f的方向或I、F的方向不確定B的方向；根據B、f的方向或B、F的方向不能確定v或I的方向。這兩種問題若有確定的解必須補充條件。

與磁場力有關的兩類極值問題

磁場中的極值問題往往與磁場力有關，磁場中的極值問題按磁場力來分也可以分為兩類，一類是與安培力有關的極值問題，另一類是與洛倫茲力有關的極值問題。但不管求解哪一類極值問題首先要確定研究對象，搞好受力分析；然後根據受力情況和初始狀態，搞清研究對象的運動過程，再根據運動過程用相應的物理規律；最後是求得所需的物理量。

通電導線在磁場中不管是處於靜止狀態還是運動狀態，都可能會受到安培力的作用。但通電導線處於靜止狀態時，它本身不會產生電動勢，而處於運動狀態時，通電導線由於電磁感應它本身也會產生感應電動勢，因此在求解運動狀態的通電導線的極值問題時，不能忘掉這個感應電動勢。

1.1　通電導線靜止時的極值問題

例1　如圖1左圖所示銅棒質量為0.1kg，靜止於相距8cm的水平軌道上，兩者間的動摩擦因數為0.5。現從一軌道載送5A電流至另一軌道，欲使銅棒滑動，兩導軌間所加的勻強磁場的磁感應強度的最小值為多少?

解析　設安培力F與水平方向的夾角為θ，畫出如圖1右圖所示的受力分析圖。則：

F = BIL。（1）

且銅棒在重力、支持力、安培力、摩擦力共同作用下應滿足：

Fcosθ-μ（mg-Fsinθ） =0。（2）

聯立（1）、（2）解得：

1.2　通電導線運動時的極值問題

例2　如圖3所示，水平放置的兩平行金屬導軌之間的距離為L =0.25cm，電池的電動勢E=6V，內電阻r =0，電阻R =5Ω，勻強磁場磁感應強度B豎直向下，K合上後，橫放在導軌上的金屬棒ab在磁場力作用下由靜止開始向右運動，金屬棒與導軌間的滑動摩擦力f=0.15N，為使棒運動速度最大，B應為多大？此時vₘₐₓ等於多少?

解析　金屬棒運動時會產生感應電動勢,此電動勢方向與電池電動勢方向想反，則電路中的電流大小為：I = (E-BLv)/R。

（1）當金屬棒速度最大時，加速度應為零，則：BIL-f =0。

（2）把（1）代入（2）得：

2.1　只有洛倫茲力作用時的極值問題　當題中只有一個帶電粒子的運動時，往往只需一條運動軌道就可確定粒子的極值問題，而當涉及到多個帶電粒子的運動時往往需要多條軌道才能確定帶電粒子的極值問題。

例3　如圖5左圖所示，一足夠長的矩形區域abcd，存在磁感應強度為B垂直紙面向裏的勻強磁場。在ab的中點O處，垂直磁場射入一速度方向跟ab邊夾角為30°，速度大小為v的帶電粒子，已知粒子的質量為m、電量為e,ab邊的長度為 ab邊足夠長，粒子重力忽略不計。

問：電子全部從bc邊射出時，電子入射速度v大小的數值範圍如何？

解析　從帶電粒子在磁場中做勻速圓周動的半徑公式可知，半徑越小，帶電粒子的運動速度越小；半徑越大，帶電粒子的運動速率越大。因過圓周上某點的軌道半徑總與該點的速度方向垂直，可知最大軌道半徑和最小軌道半徑的圓的圓心都在初速度方向的垂線上。

由此可畫出如圖5右圖所示的示意圖。當軌道半徑最小時電子從bc邊上的M射出，當軌道半徑最大時，電子剛好不從ad邊射出。設最大速率、最小速率分別為v₁、v₂，最大半徑分別為R₁、R₂，則由圖5右圖中的幾何關係可得：

R₁（1-sinθ） =1/2。（1）

R₂（1+sinθ） =1/2。（2）

因θ=30°，代入上面兩式可得：

R₁=1,R₂=1/3。（3）

又從洛倫茲力作為向心力可得：

Bev = mv₂/R。（4）

由以上四式可得粒子從bc邊上射出v的數

值大小範圍為：

例4　如圖6所示，在平面直角座標系的第一象限內，有一束寬為d的電子流，其中每個電子的速度均為v，都平行於Ox軸向右勻速運動，已知電子的質量為m、電量為e，圖6中A點的座標為（1,0），且1＞ d，現要求這束電子通過垂直於xOy平面的勻強磁場之後都能通過A點，且距離x軸為d的電子經磁場偏轉後恰好垂直x軸通過A點。

求：

（1）這個區域內磁場的磁感應強度B的大小和方向。

（2）設計一個符合上述條件且面積最小的勻強磁場區域，求出它的面積，並在xOy平面上畫出磁場邊界。

解析

（1） 如圖7所示，先考慮與x軸距離為d的電子，它經磁場偏轉後恰好垂直通過x軸上的A點，由左手定則可知磁場方向垂直紙面向裏，電子的軌道半徑R = d。（1）又有電子受的洛倫茲力作為向心力得：Bev = mv ^2/R。（2）聯立（1）、（2）兩式解得：B = mv/ed。

（2） 從圖7中可以看出與x軸距離為d的電子通過磁場偏轉後恰好垂直通過A，圓弧QA應是所求磁場區域的上邊界。為確定下邊界，我們考察與x軸距離為y的電子的運動，設它從P（x,y）點入射磁場，通過磁場偏轉後通過A點，則電子在磁場中的運動軌道是以O1為圓心、d為半徑的一段圓。

2.2洛倫茲力和其它外力共同作用下的極值問題

在此種情況下電荷的運動沒有象前一種那麼簡單。在一些問題中它是在直線運動，而在另一些問題它是曲線運動，電荷做什麼運動要視具體情況而定。

例5 如圖10，質量為0.1g的小球帶電4×10-4C的電量，把它套在很長的絕緣直棒上，將此棒豎直地放入相互平行且都是水平的勻強電場和勻強磁場中，起場強E=10N/C，磁感應強度B=0.5T，若小球與棒之間的動摩擦因數為0.2，求小球沿棒下滑的最大速度。

解析　畫出如圖11左圖所示的受力分析圖。小球受重力、電場力、洛倫茲力、彈力和摩擦力的作用，當合力為零時，小球下滑的速度達到最大。（圖11左圖中F表示電場力和洛倫茲力的合力）

例6　如圖11右圖，頂角為2θ的光滑圓錐固定在勻強磁場中，一質量為m，電量為q的小球沿

錐面做勻速圓周運動，它的最小半徑是多少?

解析　小球運動中受到三個力作用：重力mg，支持力Fɴ，洛倫茲力F = qvB。

由以下兩式：

Fɴsinθ-mg =0,

和qvB-Fɴcosθ= mv/r。

得：mv-qBrv+rmgctgθ=0。

因v的取值範圍為實數，故：

(qBr)-4mgrctgθ≥0,