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異面直線的距離
鎖定
- 中文名
- 異面直線距離
- 定 義
- 兩條異面直線的公垂線段的長度
- 定理1
- 任意兩條異面直線且有一條公垂線
- 定理2
- 兩條異面直線的公垂線段長
異面直線的距離有關定理
定理二:兩條異面直線的公垂線段長(異面直線的距離)是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。
異面直線的距離常用計算方法
(1)找出(或作出)公垂線,計算公垂線段的長度。
(2)轉化為求線面間的距離。
過其中一條直線b上的任一點作另一條直線a的平行線c,b和c所決定的平面α與a之間的距離就是異面直線的距離。
(3)轉化為求平行平面間的距離。
過兩條異面直線作兩個互相平行的平面,這兩個平面間的距離就是異面直線的距離。
該公式可以這樣理解:設異面直線AM和BN,其中AB是公垂線,M、N是兩條直線上任意的兩點。明顯地,MA⊥AB,NB⊥AB,根據射影的定義可知,
是
的射影,而
就是異面直線的距離。
(5)若兩條異面直線在某一平面上的射影互相平行(或為一點和一直線),則可以求平行線的距離(或點到直線的距離),該距離就是異面直線的距離。
(6)幾何公式法:設有兩條異面直線a, b,a, b的公垂線AB長為d。在a上找另一點C,b上找另一點D,AC=m,BD=n,CD=l,異面直線AC和BD所成角為θ。則
。注意正負號的使用,當二面角C-AB-D為θ時取+,為π-θ時取-。
第二公式:設異面直線a、b分別位於二面角α-l-β的半平面上,a與l交點為M,b與l交點為N,且MN=t。a與l的夾角為θ1,b與l夾角為θ2,二面角大小為θ3,a、b所成角為θ,則a、b之間距離為
參考(4)的求法,我們可以發現
恰好就是兩條異面直線的公共法向量
,所以這兩條公式從本質上來説是一樣的,只不過解讀的角度不同而已。