留數定理

假設U是複平面上的一個單連通開子集，

，是複平面上有限個點，

是定義在U\{

}的全純函數。如果γ是一條把

包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個

，並且其起點與終點重合，那麼：

如果γ是若爾當曲線，那麼I(γ,ak)=1, 因此：

在這裏，Res(f, a_k)表示f在點a_k的留數，I(γ, a_k)表示γ關於點a_k的卷繞數 ^[2]  。卷繞數是一個整數，它描述了曲線γ繞過點a_k的次數。如果γ依逆時針方向繞着a_k移動，卷繞數就是一個正數，如果γ根本不繞過a_k，卷繞數就是零。

以下的積分

在計算柯西分佈的特徵函數時會出現，用初等的微積分是不可能把它計算出來的。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿着實直線從−a到a，然後再依逆時針方向沿着以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1，使得虛數單位i包圍在曲線裏面。路徑積分為：

由於eitz是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母z2 + 1為零時才具有奇點。由於z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此這個函數在z = i或z = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於f(z)是

　　f(z)在z = i的留數是：

根據留數定理，我們有：

路徑C可以分為一個“直”的部分和一個曲線弧，使得：

因此

如果t> 0，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零：

因此，如果t> 0，那麼：

類似地，如果曲線是繞過−i而不是i，那麼可以證明如果t< 0，則

因此我們有：

（如果t= 0，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為π。）