本原理想

本原理想(primitive ideal)是與(右)本原環密切相關的一類理想。它可刻畫環的雅各布森根。

設a是環R的理想，若R/a是本原環(左本原環)，則稱a是R的本原理想(左本原理想)。

本原理想也可由下麪條件刻畫：環R的理想a是本原理想的充分必要條件是a為某約化右R模的零化子。

另一個充分必要條件是對R的某極大模右理想I，a=(I∶R)={x∈R|RxI}。

稱R的左理想是本原左理想，若存在本原冪等元e∈R，使得能表示為Re。 ^[5] 

任何本原理想都是素理想。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類.如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質.環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。 ^[2] 

環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換羣，稱為R的加法羣，記為(R，+);

2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半羣，稱為R的乘法半羣;

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式.20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環.同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾範德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。

本原環是一類重要的環。研究雅各布森根時引入的，其後被廣泛討論與應用。若環R有一個忠實右(左)R單模(即忠實既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環。通常將右本原環簡稱本原環。一般説來，左本原環未必是本原環，但當R有極小單側理想時，左本原性與本原性一致。任何本原環皆為素環。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環來代替有限條件下的單環，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環的結構定理，這是環論的重大發展。

雅各布森根是以右(左)擬正則性為根性質的一種重要的根。設R是任意環，若R有本原理想，則環R的一切本原理想的交稱為R的雅各布森根，用J(R)表示。當R無本原理想，規定J(R)=R，此時R稱為J根環(雅各布森環)。雅各布森根還可以從多種角度描述：J(R)等於R的一切左本原理想的交，又等於R的最大的右擬正則理想，它包含R的一切右擬正則右理想，還等於R的最大左擬正則理想，它包含R的一切左擬正則左理想，同時，亦等於R的一切模的極大右理想的交，也等於R的一切模的極大左理想的交，又等於{x∈R|xa是右擬正則，對任意a∈R}。雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的。 ^[3] 

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與麼元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

素理想是一類特殊理想。它是整數環中素數生成理想的推廣。設P是環R的理想，對R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，則稱P為R的素理想。它等價於對x，y∈R，若xRyP則x∈P或y∈P.當R是交換環時，P是R的素理想當且僅當對R中任意元素a，b，若ab∈P，則a∈P或b∈P。素理想在交換環的理想理論中有重要作用。若對任意環R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，則稱P為R的完全素理想。因此，對交換環來説，素與完全素概念是一致的。 ^[4]