正則性

1、正則性英文是regularity，正則性一般用來刻畫函數的光滑程度，正則性越高，函數的光滑性越好。通常用Lipschitz指數k來表徵函數的正則性。Lipschitz指數刻畫了函數f與局部多項式的逼近程度，而函數與局部多項式的逼近程度又與函數的可微性相聯繫。如果函數在時刻t有奇異性則説明函數在t點不可微，因而在t點的Lipschitz指數刻畫了該函數的奇異性行為。當然，還可以定義函數在區間上的正則性。小波基的正則性主要影響着小波係數重構的穩定性，通常對小波要求一定的正則性（光滑性）是為了獲得更好的重構信號。小波函數與尺度函數具有相同的正則性，因為小波函數是由相應的尺度函數平移的線性組合構成的，因此，我們説尺度函數的正則性，也就是説小波函數的正則性。另外，消失矩和正則性之間還有很大關係，對很多重要的小波（比如，樣條小波，Daubechies小波等）來説，隨着消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，並不能説隨着小波消失矩的增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。 ^[1] 

2、若自變量x₁=…=x_m，此時函數f(x₁,…,x_m)=x₁，則説函數f(x₁,…,x_m)滿足正則性。

例如，如果函數f在點t0是Lipschitz α 的，α 大於n（n大於1），那麼函數f在t0點就是n次連續可微的，並且該函數可以用n次多項式來逼近。

一個函數的赫爾德指數反映了函數的正則性，即光滑性。小波變換的一個重要性質就是可以刻畫函數的正則性。具體表述為：如果ψ(x)是一個具有緊支集的小波，設f(x)∈L(R)有界並且連續，那麼當且僅當存在常數C>0，使：

成立時，f(x)是α(0<α≤1)次赫爾德連續的。

德國數學家。生於斯圖加特(Stuttgart)，卒於萊比錫。1877年入柏林大學學習，1882年獲博士學位。1884年任格丁根大學講師，不久成為蒂賓根大學副教授。1894年受聘為柯尼斯堡大學教授。1899年任萊比錫大學教授，並被選為科學院院長，巴伐利亞(Bavaria)科學院通訊院士(1927)。赫爾德在數學分析、函數論、級數論、羣論、幾何學、數學基礎等方面作出了重要貢獻。他提出了後來以其名字命名的體積密度連續性條件，提出了以算術方法求和的法則。給外爾斯特拉斯定理——解析函數可任意接近其本性奇點鄰域中的每一個值——提供了第一個完整的證明。研究了其冪級數在收斂圓周上的點發散的解析函數。論證了它們在收斂圓周上點的極限值是可以計算出來的。考察了不必連續或不必有界的函數的傅立葉級數的收斂性。首先將傅立葉係數定義為非正常積分的新形式。作出了在數學分析中有廣泛應用的赫爾德不等式，包含了施瓦爾茲不等式對一般指數推廣的情形。研究了正規鏈理論，得出了在羣論中有重要意義的若爾當一赫爾德序列和若爾當—赫爾德定理。考察了單羣理論，探討了商羣和正規子羣所構成的羣的結構。在幾何學和數學基礎方面，有《幾何學中的觀點和思想》(Anschauungen und Denken inder Geometrie，1900)《數學方法》( Die mathematische Methode，1924)等著作。赫爾德也很注意研究與物理學密切相關的數學問題，例如，他論證了哈密頓變分原理對於非完整運動(nonholonomic mo-tion)同樣是有效的。 ^[2]