小波函數

小波一詞由 Jean Morlet 和 Alex Grossman 在 1980年代 早期建立。他們用的是 法語 詞ondelette - 意思就是"小波"。在英語裏，後來將"onde"變為"wave"而成了wavelet。小波變換分成兩個大類：離散小波變換 （DWT） 和 連續小波變換 （CWT）。兩者的主要區別在於，連續變換在所有可能的縮放和平移上操作，而離散變換採用所有縮放和平移值的特定子集。小波理論和幾個其他課題相關。

有小波變換可以視為 時域頻域表示 的形式，所以和調和分析相關。所有實際有用的離散小波變換使用包含 有限脈衝響應濾波器的濾波器段（filterbank）。構成CWT塊小波受海森堡的測不準原理制約，或者説，離散小波基可以在測不準原理的其他形式的上下文中考慮。

簡單來説（技術上有錯），母小波函數ψ（t）必須滿足下列條件：

∫│ψ（t）│^2 dt=1（積分區間負無窮到正無窮）。也即 ψ<[L（R）]^2。

並單位化∫│ψ（t）│dt=∞（積分區間負無窮到正無窮）。也即 ψ<L（R）。

∫ψ（t）dt=0（積分區間負無窮到正無窮）。

多數情況下，需要要求ψ連續且有一個矩為0的大整數M，也即對所有整數m<M。

∫t^m·ψ（t）dt=0（積分區間負無窮到正無窮）。

這表示母小波必須非0且均值為0。

技術上來講，母小波必須滿足可採納性條件以使某個分辨率的恆等成立。

母小波的一些例子：

【待添加】

母小波縮放（或稱膨脹）a倍並平移b得到（根據Morlet的原始形式）：

ψa,b（t）=ψ[（t-b）/a]/a^0.5

這些函數常常被錯誤的稱為變換的埠函數。實際上，沒有基函數存在。時域頻域解釋要用一個稍有區別的表述（由Dlprat給出）。

小波變換經常和傅立葉變換做比較，在那裏信號用正弦函數以及餘弦函數的和表示。主要的區別是小波在時域和頻域都是局部的而標準的傅立葉變換只在頻域上是局部的。短時間傅立葉變換 （Short-time Fourier transform）（STFT）也是時域和頻域的局部化處理，但有些頻率和時間的分辨率問題，而小波通常通過 多分辨率分析 給出信號更好的表示。小波變換計算複雜度上也更小，只需要O（N）時間，而不是 快速傅立葉變換 的 O（N log N），N代表數據大小。

小波完全通過縮放濾波器g（一個低通有限脈衝響應 （FIR）長度為2N和為1的濾波器）來定義。在雙正交小波的情況，分解堌重建的濾波器分別定義。高通濾波噠的分析作為低通的QMF來計算，而重建濾波器為分解的時間反轉。例如Daubechie和Symlet小波。

小波有時域中的小波函數ψ(t)（即母小波）和縮放函數φ(t)（也稱為父小波）來定義。小波函數實際上是帶通濾波器，每一級縮放將帶寬減半。這產生了一個問題，如果要覆蓋一個譜需要無窮多的級。縮放函數濾掉小波變換的最低級並保證整個譜被覆蓋到。對於有緊支撐的小波，φ(t)可以視為有限長，並等價於縮放濾波堨g. 例如Meyer小波

小波只有時域表示，作為小波函數ψ(t). 例如墨西哥帽小波。

通常來講，DWT用於信號編碼而CWT用於信號分析。所以，DWT通常用於工程和計算機科學而CWT經常用於科學研究。小波變換被大量不同的應用領域所採納，經常替代了傅立葉變換的位置。很多物理學的領域經歷了這樣的轉變，包括分子動力學 ， 重新計算 （ab initio calculations），天文物理學，密度矩陣局部化，地震地質物理學，光學 ，湍流 ，和量子力學。其他經歷了這種變化的學科有圖像處理 ，血壓，心率和心電圖分析， DNA 分析，蛋白質分析，氣象學 ，通用信號處理 ，語言識別 ，計算機圖形學 ，和多分形分析。小波的一個用途是數據壓縮。和其他變換一樣，小波變換可以用於原始數據（例如圖像），然後將變換後的數據編碼，得到有效的壓縮。JPEG 2000是採用小波的圖像標準。細節請參看小波壓縮。

小波的發展和幾條不同的思路相關@最早的是 Alfred Haar 在20世紀早期的工作。對小波理論有窠出貢獻的有 Pierre Goupillaud,Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述，稱為CWT（1982），Jan-Olov Str&ouml;mberg 在離散小波上的早期工作（1983），英格麗·多貝西 （Ingrid Daubechies）的緊支撐正交小波（1988），Stephane Mallat 的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat CWT的時域頻域解釋 （1991），David E. Newland 的調和小波變換和之後的很多其他人㠂

時間線

- 第一個小波（Haar小波）由 Alfred Haar 給出 （1909年）

- 1950年代以來： Jean Morlet 和 Alex Grossman

- 1980年代以來： Yves Meyer,Stéphane Mallat，英格麗·多貝西 （Ingrid Daubechies）,Ronald Coifman,Victor Wickerhauser

小波變換

存在着大量的小波變換，每個適合丠同的應用。完整的列表參看 小波相關的變換列表 ，常見的如下：

- 連續小波變換 （CWT）

- 離散小波變換 （DWT）

- 快速小波變換 （FWT）

- 小波包分解 （Wavelet packet decomposition） （WPD）

Allnodes ；計算樹結點

appcoef 提取一維小波變換低頻係數

appcoef2 ；提取二 維小波分解低頻係數

bestlevt ；計算完整最佳小波包樹

besttree ；計算最佳（優）樹

biorfill ；雙正交樣條小波濾波器組

biorwavf 雙正交樣條小波濾波器

centfrq ；求小波中心頻率

cgauwavf Complex Gaussian小波

cmorwavf coiflets小波濾波器

cwt ；一維連續小波變換

dbaux Daubechies小波濾波器計算

dbwavf Daubechies小波濾波器 dbwavf（W） W='dbN' N=1,2,3,...,50

ddencmp 獲取默認值閾值（軟或硬）熵標準

depo2ind ；將深度-位置結點形式轉化成索引結點形式

detcoef ；提取一維小波變換高頻係數

detcoef2 ；提取二維小波分解高頻係數

disp ；顯示文本或矩陣

drawtree ；畫小波包分解樹（GUI）

dtree ；構造DTREE類

dwt 單尺度一維離散小波變換

dwt2 單尺度二維離散小波變換

dwtmode 離散小波變換拓展模式

dyaddown ；二元取樣

dyadup ；二元插值

entrupd 更新小波包的熵值

fbspwavf B樣條小波

gauswavf Gaussian小波

idwt 單尺度一維離散小波逆變換

idwt2 ；單尺度二維離散小波逆變換

ind2depo ；將索引結點形式轉化成深度—位置結點形式

intwave 積分小波數

isnode ；判斷結點是否存在

istnode 判斷結點是否是終結點並返回排列值

iswt 一維逆SWT（Stationary Wavelet Transform）變換

iswt2 ；二維逆SWT變換

leaves ；尋找終端結點

noleaves ；尋找非終端結點

mexihat 墨西哥帽小波

meyer Meyer小波

meyeraux Meyer小波輔助函數

morlet Morlet小波

nodease 計算上溯結點

nodedesc ；計算下溯結點（子結點）

nodejoin ；重組結點

nodepar 尋找父結點

nodesplt ；分割（分解）結點

ntnode ；返回終端結點個數

ntree ；構造樹結構對象

orthfill ；正交小波濾波器組

plot 繪製向量或矩陣的圖形

qmf ；鏡像二次濾波器

rbiowavf ；通過設定雙正交樣條小波濾波器得到分解和重構的濾波器

read 讀取二進制數據

readtree ；讀取小波包分解樹

scal2frq ；返回偽頻率

shanwavf Shannon小波

swt ；一維SWT（Stationary Wavelet Transform）變換

swt2 二維SWT變換

symwavf Symlets小波濾波器

thselect ；信號消噪的閾值選擇

treedpth ；求樹的深度

treeord 求樹結構的叉數

upcoef ；一維小波分解係數的直接重構

upcoef2 二維小波分解係數的直接重構

upwlev ；單尺度一維小波分解的重構

upwlev2 單尺度二維小波分解的重構

wavedec 單尺度一維小波分解

wavedec2 ；多尺度二維小波分解

wavedemo ；小波工具箱函數demo

wavefun 小波函數和尺度函數

wavefun2 ；二維小波函數和尺度函數

wavemenu ；小波工具箱函數menu圖形界面調用函數

wavemngr ；小波管理函數

waverec 多尺度一維小波重構

waverec2 ；多尺度二維小波重構

wbmpen ；返回1-D或2-D小波降噪的全局閾值

wcodemat ；對矩陣進行量化編碼

wdcbm ；返回閾值和係數個數（1-D小波降噪Birge-Massart策略）

wdcbm2 ；返回閾值和係數個數（2-D小波降噪Birge-Massart策略）

wden 用小波進行一維信號的消噪或壓縮

wdencmp 小波消噪或壓縮

wentropy ；計算小波包的熵

wfilters ；小波濾波器

wkeep ；提取向量或矩陣中的一部分

wmaxlev 計算小波分解的最大尺度

wnoise ；產生含噪聲的測試函數數據

wnoisest ；估計一維小波的係數的標準偏差

wp2wtree ；從小波包樹中提取小波樹

wpcoef ；計算小波包係數

wpcutree ；剪切小波包分解樹

wpdec ；一維小波包的分解

wpdec2 ；二維小波包的分解

wpdencmp ；用小波包進行信號的消噪或壓縮

wpfun ；小波包函數

wpjoin ；小波包重構

wprcoef 小波包分解係數的重構

wprec ；一維小波包分解的重構

wprec2 ；二維小波包分解的重構

wpsplt ；分割（分解）小波包

wpthcoef ；進行小波包分解係數的閾值處理

wpviewcf ；繪製小波包的顏色系數

wrcoef ；對一維小波係數進行單支重構

wrcoef2 對二維小波係數進行單支重構

wrev 向量逆序

write ；向緩衝區內存寫進數據

wthcoef 一維信號的小波係數閾值處理

wthcoef2 ；二維信號的小波係數閾值處理

wthresh 進行軟閾值或硬閾值處理

wthrmngr ；閾值設置管理

wtreemgr ；管理樹結構