本原環

本原環(primitive ring)是一類重要的環。研究雅各布森根時引入的，其後被廣泛討論與應用。若環R有一個忠實右(左)R單模(即忠實既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環。通常將右本原環簡稱本原環。一般説來，左本原環未必是本原環，但當R有極小單側理想時，左本原性與本原性一致。任何本原環皆為素環。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環來代替有限條件下的單環，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環的結構定理，這是環論的重大發展。 ^[1] 

環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換羣，稱為R的加法羣，記為(R，+)；

2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半羣，稱為R的乘法半羣；

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即：

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律)；

則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾範德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。

另一方面，由羣表示研究的影響，產生模、羣環與分次環的理論。20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限羣表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了羣代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受羣表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，羣代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及羣表示論的推動，環論已進入一個新的階段。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

雅各布森根是以右(左)擬正則性為根性質的一種重要的根。設R是任意環，若R有本原理想，則環R的一切本原理想的交稱為R的雅各布森根，用J(R)表示.當R無本原理想，規定J(R)=R，此時R稱為J根環(雅各布森環)。雅各布森根還可以從多種角度描述：J(R)等於R的一切左本原理想的交，又等於R的最大的右擬正則理想，它包含R的一切右擬正則右理想，還等於R的最大左擬正則理想，它包含R的一切左擬正則左理想，同時，亦等於R的一切模的極大右理想的交，也等於R的一切模的極大左理想的交，又等於{x∈R|xa是右擬正則，對任意a∈R}.雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的。

素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想，則稱R為素環。環R是素環當且僅當下列等價條件之一成立：

1.設A，B是R的理想，若AB=(0)，則A=(0)或B=(0)。

2.R中任意非零左(右)理想的左(右)零化子為零。

3.對任意x∈R，若RxR=(0)，則x=0。 ^[2] 

例如，整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關係：P是R的素理想當且僅當R/P是素環。

美國數學家。1910年4月 10 日生於波蘭華沙，1917年隨家庭移居美國。1930年獲亞拉巴馬大學學士學位，1934年獲普林斯頓大學博士學位。曾任教於布林莫爾學院、芝加哥大學、加利福尼亞大學、北卡羅來納大學、約翰斯·霍普金斯大學，1947年起任教於耶魯大學。1954年被選為美國全國科學院院士。1971—1973年任美國數學會主席，1970—1974年任國際數學聯盟副主席。

雅各布森的貢獻主要在結合環、李代數和若爾當代數等代數領域。在結合環理論方面，他在1945年發展了環的一般結構理論並給出了該理論的一些重要應用，其中包括給出了環的根基及相應半羣單純性概念的一般定義;用本原環對半單純環作了部分分析;本原環的結構理論和特殊情況下代數的代數理論的特定化。在李代數方面，他的貢獻主要在結構理論，特別是特徵為“0”的任意域上單李代數的分類，並開創了素特徵李代數的結構理論。1937—1938年，他引入了p李代數的概念，並發展了不可分域擴張的伽羅瓦理論。1950年以後，他主要研究若爾當代數理論，其主要成果在表示理論並發展了類似於阿廷結合環結構理論的結構理論。雅各布森著有《環論》(Theory of Rings，1943)、《抽象代數講義》(Lectures in Abstract Algebra，3 vols， 1951—1964)、《環的結構》(Structure of Rings， 1956;1964年修訂本)、《李代數》(Lie Algebras，1962)、《若爾當代數的結構與表示》(Structureand Representations of Jordan Algebras，1968)、《例外李代數》(Exceptional Lie Algebras， ^[3]  1971)、《PI代數》(PI-Algebras，1975)等書。教科書《代數基礎》(Basic Algebra)被廣為採用，有中譯本。