有理映射

設X和Y為簇，有理映射

指的是

的等價類，其中U為X的非空開集，

為態射。並且

與

等價，當且僅當在

上，

與

一致。 ^[4] 

固定概形

。考慮所有的資料

，其中

是稠密開集，而

是態射；這些資料代表了

上“部分定義”的態射，

代表

的定義域。定義下述等價關係： ^[2] 

此外，注意到稠密性保證

也是

中的稠密開集。當

不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設

既約而

是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形

到

的有理映射

是其中的一個等價類

。

若

是從

到

，而

是從

到

的有理映射，則一般並不能定義其合成

。但是當

的像（對某個，因而對每個代表元

）在

中稠密時，對每個

的代表元

，

皆非空，此時可以定義

。

同理，若

與

都是

上的概形，也可以類似地定義

有理映射。

有理映射是代數幾何中常見的對象。 ^[1] 

設

和

是兩個代數簇， 如果

存在一個開集，使得補集在

中的餘維數至少是2，並且存在一個定義在上的映射

，那麼我們就説

是到的一個有理映射。

有理映射並非真正的映射。

有理映射是幾乎處處有定義的態射 ^[5]  ，那些沒定義的點全體只佔有很小的維數。

代數簇上的有效除子的線性系一般都可以誘導一個從該簇到射影空間的有理映射。

如果兩個代數簇之間存在有理映射

和

使得

那麼就稱X和Y是雙有理等價， f 稱為雙有理映射。凡是雙有理等價的代數簇，它們具有很多相同的不變量 ， 比如虧格等等。

代數曲面的經典理論告訴我們，任何光滑曲面都雙有理等價於一個所謂的極小模型。 除了直紋面外，任何曲面對應的極小模型都是唯一的，並且是光滑的。

在高維代數幾何中， 人們也在試圖尋找高維代數簇在雙有理等價意義下的極小模型，這一研究分支稱為雙有理幾何。

設

為整環，設

、

，則從

到

的任何有理映射

有唯一的表法： ^[3] 

其中

是多項式。該有理映射可以在

上定義。

此外，對於不可約

概形

，其上的有理函數一一對應到從

到

的有理映射。

若對某個

有

在Y中稠密，則有理映射

為支配有理映射。

由於支配有理映射可以作合成，定義從概形

到

的雙有理等價為一個支配有理映射

，使得存在另一個從

到

的支配有理映射

，使

、

。

設X和Y是任意兩個簇，則下列兩個集合一一對應

(1)從X到Y的支配有理映射；

(2)從K(Y)到K(X)的k代數同態。

以下考慮域

上的不可約代數簇及其間的

有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的“拉回”運算，代數簇之間的支配有理映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。 ^[3] 

雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是

與

，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下：

中的任兩條閉曲線都有交點，而在

}中，

與

不相交，因而

與

並不同構。

另一方面，

的函數域可以在仿射開集

上計算，此開集的座標環是

，其函數域是

；這也是

的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。