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線性系
鎖定
- 中文名
- 線性系
- 外文名
- linear system/linear series
- 適用範圍
- 數理科學
線性系簡介
設 X 是域 k 上非奇異代數簇,
是 X 上的可逆層,
是
的整體截面的空間,
是一個有限維子空間,如果
,則由
的截面零點所確定的除子是線性等價的有效除子。L 的一維子空間構成的射影空間
就是一個線性系,它給出了上述除子的參數化。如果
,則稱線性系
為完全的(complete),同樣記為
。
用除子的語言可以等價地描述為:若 D 是 X 的一個除子,
是 X 上的有理函數,滿足
則稱除子集合
設
是 L 的一個基,通過
線性系固定分支
對於
,線性系的固定分支(fixed component of a linear system)是指 X 上的一個有效除子
,使得對任何
都有
,其中
是一個有效除子。當除子 D 取遍
時,除子
構成一個線性系
,它與
有相同維數。映射
與
是重合的。所以當考慮
時可以假設
沒有固定分支。在這種情形,
恰在
的基本集上沒有定義。
線性系舉例
比如D和除子E線性等價,D=div(s), E=div(t), 那麼 f=s/t 恰好是個半純函數。
D的一個線性系, 就是指和D線性等價的一些 有效除子 構成的集合, 並且這些有效除子對應的截面全體恰好構成一個線性空間。D有很多線性系,其中有一個最大的線性系, 記為|D|, 它包含了其他任何一個線性系, 我們稱這個線性係為D的完全線性系。換句話説,|D|的所有元素對應的截面恰好構成了最大的線性空間。
有的時候,人們也把線性系中的有效除子直接用截面來替代,這樣我們就可以把線性系直接看成這些截面張成的線性子空間。 由此我們可以定義X到射影空間的映射。
比如|D|是由截面 s0,s1,...,sn張成的線性系。於是可定義映射(其中Pn是射影空間, [...]是射影齊次座標):Φ: X→Pn, x→[s0(x), s1(x),...,sn(x)]。有趣的是,這個映射和選取的基 s0,s1,...,sn無關。 當然Φ在某些點上可能沒有定義,所以我們稱Φ為有理映射。
上面是用完全線性系定義的,也可用其他的線性系定義。反過來, 任何有理映射都是某個除子D的線性系定義的類似上述的映射。這樣,研究除子就有了很重要的幾何意義。