有序羣

有序羣(ordered multiplicative group )是指由記以加法的交換羣G與同G的法則相容的G中的一種序關係所組成的偶。換言之，對G之元素的任一三元組(x，y，z)，有： ^[2] 

有序羣也可以定義為帶有全序的一個交換乘(加)羣。關於有序乘(加)羣，下面兩個定義是等價的：

1.Γ是一個階大於1的交換乘(加)羣，即Γ≠{1}({0})，若Γ中有非空子集Δ滿足：

1) 1Δ(0Δ)。

2) 對Γ中的每一個元素λ≠1(λ≠0)，必有λ∈Δ或者λ∈Δ(-λ∈Δ)。

3) Δ對乘法(加法)封閉，

則稱Γ為一個有序乘(加)羣，或者稱為由Δ所定義的有序乘(加)羣。

2.Γ是一個交換羣，若Γ上定義了一個二元關係≤，滿足下麪條件：

1) 對於每個λ∈F有λ≤λ成立。

2) 對於任意兩個λ，u∈Γ，有λ≤u或者u≤λ成立。

3) 若λ≤u以及u≤λ，則λ=u。

4) λ≤u，u≤v且有λ≤v。

5)若λ≤u，且對任何v∈Γ皆有

λv≤uv(λ+v≤u+v)。

有序交換羣在賦值論中有很重要的作用。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。 ^[3] 

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣；時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

交換羣亦稱阿貝爾羣，是一種重要的羣類。對於羣G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若羣G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾羣。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換羣，所以通常稱這類羣為阿貝爾羣。交換羣的運算常用加法來表示，此時羣的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換羣稱為加法羣或加羣。

交換羣的運算適合交換律。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函數，設x₁是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為

，其中Q_i(i=1，…，n-1)是有理函數，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Q_i(Q_j(x₁))=Q_j(Q_i(x₁))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦羣的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換羣為阿貝爾羣。

交換羣是一般羣論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換羣，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本羣、同調羣，代數學中的布饒爾羣等等。交換羣論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有着密切的聯繫。 ^[4] 

全序亦稱“線性序”。序關係的一種。具有連結性的半序。可分強、弱兩種，分別用<與≤表示，它們是滿足相應連結性的強、弱半序關係。即對於集合X中的任何元a，b，連結性也可表示為：a=b或a<b或b<a，結合強半序中的其他性質，可以證明滿足強全序關係的集中的任何元素a、b，a<b、a=b與b<a，三者中必有且僅有一個成立，這個性質叫做三分律。

有序羣在賦值論中有重要應用。

賦值論是域論的一個重要分支。它是研究交換代數的一個工具。特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的應用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發，可以給原來的域一個拓撲結構，使之成為拓撲域.賦值理論肇始於屈爾沙克(Kürschák，J.)於1913年發表的論文.賦值、賦值域這些名稱都是他首先引入的。其後，經過奧斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，並發展了這一理論.1932年，克魯爾(Krull，W.)發表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎.時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數結構上，例如羣、環、向量空間等，也用多種方式引進賦值，並由此對這些結構作算術理論的研究.此外，賦值論還滲入泛函分析的領域，發展了所謂非阿基米德泛函分析。 ^[5]