布饒爾羣

布饒爾羣亦稱代數類羣。域F上有限中心單代數的相似代數類所構成的羣。設U是域F上有限中心單代數的全體，有限中心單代數按其相應的中心可除代數同構所定義的相似關係是等價關係。用[A]表示U中元A所在的等價類。若B(F)={[A]|A∈U}，在B(F)中規定乘法[A][B]=[A_FB]，則B(F)構成一個交換羣，稱為域F上的布饒爾羣。它是布饒爾(Brauer，R.(D.))於1929年首先引入的。布饒爾羣B(F)中每個元[A]可惟一地(同構意義下)由一個可除代數決定。若A，B∈U，則AB當且僅當在B(F)中[A]=[B]且dim_FA=dim_FB。特別地，當F是代數閉域時，B(F)={1}。 ^[1] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G; ^[2] 

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣；時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

單羣是一類重要的羣。即不含非平凡正規子羣的羣。若羣G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規子羣，則稱G為單羣。若此時G還是有限羣，則稱G為有限單羣。有限單羣的例子有：素數階羣，交錯羣A_n，n≥5。有限單羣的研究是有限羣論中一個十分活躍的領域。

與羣論中單羣類相對應的基本環類。一個環(代數)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單環或單純環(弱單代數)。弱單環(弱單代數)可分兩類：一類是R≠0，此類環(代數)稱為單環(單代數)，它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身。域F上的全矩陣環是單環，也是F上的單代數。F上有限維單代數必含單位元。 ^[3] 

中心單代數亦稱正規單代數。結構較清楚的一類重要單代數。若域F上代數A的中心是F本身，則稱A為中心代數(正規代數)。中心是F的F單代數稱為中心單代數。每一個有單位元的單代數都是其中心上的中心代數，所以有單位元的單代數的研究可歸結為對純量擴張與中心單代數的研究。有限維單代數恆有單位元，所以恆為其中心上的中心單代數。然而域F上無限維單代數A未必有單位元，但此時A的形心是域，設為C，通常稱A為C(特別地C=F時)上中心單代數。當A有單位元時，A的形心就是A的中心。任何單環都是形心上中心單代數。 ^[4] 

可除代數是平行於除環的一類重要代數。若R代數A的每個非零元在A中恆有逆元，即A=A\{0}是乘羣，則稱A是R可除代數。R是域時，R可除代數簡稱可除代數。代數閉域F上有限維可除代數只有F自身.而實數域R上有限維可除代數有且僅有實數域、複數域與四元數可除代數三種，這是有限維可除代數著名的弗羅貝尼烏斯結構定理。

布饒爾是美國數學家。生於德國柏林，卒於美國波士頓。1925年畢業於柏林大學，獲博士學位。1925—1933年執教於哥尼斯堡大學，1927年起任不支薪講師。1933年納粹上台後移居美國。1933—1934年執教於肯特基大學，1934—1935年在普林斯頓高級研究所任外爾的助手。1935年起執教於多倫多大學，1946年升教授。1948—1952年在密執安大學任教授。1952年起任哈佛大學教授。1971年退休。

布饒爾1954年當選為美國全國科學院院士，1963年成為倫敦數學會榮譽會員，曾任美國數學會(1959—1960)主席。他還是加拿大皇家學會會員。曾獲滑鐵盧大學、芝加哥大學以及聖母大學等大學的名譽博士稱號。1970年獲美國國家科學獎章。

布饒爾早期研究羣表示論和代數結構。曾與諾特合作證明單代數分裂域與極大子域之間的密切聯繫。後來他引進了域上的布饒爾羣的概念，這是研究中心單代數的有力工具。1931年，他與哈塞和諾特合作證明了迪克森猜想：代數域上每一箇中心單代數都是循環的。這是代數數論發展的一個高潮。1935年以後，他寫了約50篇關於有限羣模表示理論及其在有限單羣結構中應用的論文。其中最引人注目的成就是發現了關於特徵理論的新定理，使他立刻證明了阿廷L級數是亞純的和g次單位根域是一個階為g的羣的分裂域。40年代後期他發現對合(invo-lutions)羣的一些簡單性質可以用來導出關於偶階羣結構的十分強的結果。進而提出了利用對合元素的中心化結構來研究單羣分類的布饒爾綱領。

布饒爾曾與人合著《有限羣論專集》(The Theory of Finite Groups， a Symposium，1969)。他的中國學生有段學復和曹錫華等。 ^[5]