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方程求解
鎖定
- 中文名
- 方程求解
- 學 科
- 數學
方程求解緒論
數學中的方程求解是指找出哪些值(可能是數、函數、集合)可以使一個方程成立,或是指出這様的解不存在。方程是兩個用等號相連的數學表示式,表示式中有一個或多個未知數,未知數為自由變數,解方程就是要找出未知數要在什麼情形下,才能使等式成立。更準確的説,方程求解不一定是要找出未知數的值,也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數,也就是説若用方程的解來取代未知數,會使方程變為恆等式。
例如方程x+y=2x-1的解為x=y+1,因為若將方程中x取代為y+1,方程會變成恆等式
。也可以將y視為未知數,解則為y=x-1。也可以將x和y都視為未知數,此時會有許多組的解,像是
或
等,所有滿足 (x,y)=(a+1,a)的都是上述方程的解。
依問題的不同,方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解,也有可能是要找到所有的解(解集合)。有時方程會存在許多解,但要找到某種最佳解,這類的問題稱為最佳化問題,找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。
有些情形下,方程求解會需要找到解析解,也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下,方程求解只需要找到數值解,也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解,或是沒有簡單形式的解析解,例如五次方程以及更高次的代數方程,不存在根式解(用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解),這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的。
[1]
方程求解簡介
考慮一個具一般性的例子,有一個以下的方程:
例如,以下的方程:
以此例而言,方程不會只有唯一解,方程解的個數有無限多個,可以寫為以下的集合
方程求解解集合
若解集合為空集合,表示不存在
使得以下方程成立
例如考慮一個經典的單變數例子,考慮定義域為整數的平方函數 f:
考慮以下方程
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