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斯蒂弗爾-惠特尼類

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斯蒂弗爾-惠特尼類(Stiefel-Whitney class)是一種相應於正交羣O(n)的模2係數的示性類，它有很多基本性質，如：若ξ=η，則Wi(ξ)=Wi(η)；若ε為平凡叢，則Wi(ε)=0，i＞0，這是因為存在從ε到底空間為一個點的向量叢的映射；若ε為平凡叢，則Wi(ε⊕η)=Wi(η)。
中文名
斯蒂弗爾-惠特尼類
外文名
Stiefel-Whitney class
所屬學科
向量叢
相關概念
正交羣、示性類、線叢等

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 定義
  3. ▪ 具體定義
  4. ▪ 公理化定義
  5. 3 構造
  1. 4 歷史背景
  2. 5 性質
  3. 6 其他示性類
  4. 7 應用
  1. 8 切赫上同調
  2. 9 拓撲能帶論中的應用

斯蒂弗爾-惠特尼類基本介紹

斯蒂弗爾-惠特尼類是一種相應於正交羣O(n)的ℤ2係數的示性類。為了定義斯蒂弗爾-惠特尼類，先敍述一個定理：設h*是一種有乘積的上同調論，使得對於每個n≥1 ，有xn∈h1(ℝPn) 滿足：
1.h*(ℝPn)=h*(Pt)[Xn]/xn+1n ；
2.若i:ℝPn→ℝPn+1為包含映射，則i*xn+1=xn（h*(Pt)為h*下一點構成空間的上同調環），

斯蒂弗爾-惠特尼類定義

斯蒂弗爾-惠特尼類具體定義

給定向量叢p:E→B，纖維為ℝn，結構羣G為實正交羣O(n)。對應的配叢為p:Ek→B，纖維Fk為斯蒂弗爾流形Vn,k。
πi＜n-k(Vn,k)=0
πn-k(Vn,k)=ℤ，n-k奇，或k=1
πn-k(Vn,k)=ℤ2，n-k偶
上同調類αk∈Hn-k+1(B;πn-k(Vn,k))模去2後，稱為向量叢E→B的第k斯蒂弗爾-惠特尼類，記為
wq=αn-q+1∈Hq(B;ℤ2),q=1,2,...,n
w0=1
多項式W(t)=w0+w1t+...+wqtq+...+wntn
稱為向量叢的斯蒂弗爾-惠特尼多項式。 [3] 

斯蒂弗爾-惠特尼類公理化定義

對於以B為底空間的每個實向量叢ξ:E→B，存在唯一的上同調類wi(E)∈Hi(B;ℤ2)(0≤i≤n)滿足：
1.wi＞dimE(E)=0；
2.自然性：對拉回f*(E)，有wi(f*(E))=f*(wi(E)) ；
3.惠特尼求和公式：若E1與E2的底空間相同，wk(E1⨁E2)=∑i+j=kwi(E1)wj(E2)，w0(E)=1；
4.非平凡條件：對ℝP∞上典範線叢γ1，w1(γ1)∈H1(ℝP∞;ℤ2)非零。
它們稱為O(n)叢ξ的斯蒂弗爾-惠特尼類。 [2] 

斯蒂弗爾-惠特尼類構造

設wi(ξ)=Φ-1SqiΦ(1)=Φ-1Sqiμ，其中Φ為託姆同構，Sq為斯廷羅德平方，則wi(ξ)為第i斯蒂弗爾-惠特尼類。

斯蒂弗爾-惠特尼類歷史背景

1935年，斯蒂弗爾定義了光滑流形的切叢的示性類，同年，惠特尼定義了單純復形上球面叢的示性類。惠特尼乘積定理於1940,1941由惠特尼，於1948年由吳文俊提出。1966年，希策布魯赫給出了公理化定義。 [2] 

斯蒂弗爾-惠特尼類性質

若ξ≅η ，則wi(ξ)=wj(η) 。
若ε為平凡叢，則wi(ε)=0，i＞0，這是因為存在從ε到點上向量叢的叢射。
若ε為平凡叢，則wi(ε⨁η)=wi(η) 。
若ξ為有歐幾里得度量的ℝn向量叢，且有處處非零的截面，則wn(ξ)=0，若ξ有k個獨立的截面，則ξ=ε⨁ε⊥，其中ε為k維平凡叢，從而wi(ξ)=wj(ε⊥)，所以wn-k+1(ξ)=wn-k+2(ξ)=...=wn(ξ)=0。
對於一個O(n)向量叢ξ，w(ξ)=1+w1(ξ)+w2(ξ)+...+wn(ξ)稱為ξ的全斯蒂弗爾-惠特尼類，於是由惠特尼乘積定理有惠特尼求和公式w(ξ⨁η)=w(ξ)w(η) 。
對於一個CW復形X，以X為底空間的向量叢ξ是很多的，當X=M為可微流形時，稱切叢τ(M)的斯蒂弗爾-惠特尼類為M的斯蒂弗爾-惠特尼類。對於流形M，若τ(M)為平凡叢，則稱M為可平行化的。
流形Mn可定向，當且僅當其W1=0。 [3] 
設
為ℝPn上的典範線叢，則
這由示性類的定義立即可知。設
為n+1個
的惠特尼和，其全空間中的每一個點可以表為
其中
是x在ℝPn 中的像點，則存在一個叢映射
(ε′為一維平凡叢)，
其中
為
的內積。φ為同胚，因此
，從而有下列性質：
。
由於這個性質6與性質4，即得下列性質(斯蒂弗爾的一個定理)：
w(ℝPn)=1，當且僅當n=2r-1(r≥0) 。
因此ℝPn可平行化(即它的切叢為平凡叢)，僅可能是ℝP1，ℝP3，ℝP7，ℝP13，ℝP15，...。事實上，已經知道ℝP1，ℝP3，ℝP7可以平行化，而ℝP15，...不能平行化。此外，ℝP2m(m≥1) 上沒有截面，即沒有連續處處非零的向量場 [1]  。

斯蒂弗爾-惠特尼類其他示性類

龐特里亞金類可視為係數為ℤ的斯蒂弗爾-惠特尼類，即對實向量叢E→B，有H4i(B;ℤ)→H4i(B;ℤ2)，pi(E)↦w2i(E)2。
對n階可定向實向量叢E→X，wn(E)=e(E)(mod 2)。
復向量叢ξ的陳多項式模2，可視為實向量叢rξ的斯蒂弗爾-惠特尼多項式，即w2k(rξ)=ck(ξ) mod 2。
wn為n維流形M的歐拉示性數模2。 [3] 
即斯蒂弗爾-惠特尼類與龐特里亞金類決定了非定向實向量叢的所有示性類，而對於定向實向量叢，還有歐拉類。 [6] 

斯蒂弗爾-惠特尼類應用

實向量叢可定向當且僅當w1=0。
流形可定向當且僅當其切叢可定向。
流形為自旋流形，當且僅當其切叢有自旋結構。
流形M1與M2的積流形M1×M2的斯蒂弗爾-惠特尼多項式為w(t)=w(1)(t)w(2)(t)，其中w(1)(t)與w(2)(t)分別為M1與M2的斯蒂弗爾-惠特尼多項式。
若
為n維實射影空間ℝPn上的典範線叢，則 [3] 
w(t)=1+w1(t)，w1∈H1(ℝPn,ℤ2)≅ℤ2，w1≠0。
斯蒂弗爾-惠特尼類不能用叢的曲率表示。 [4] 

斯蒂弗爾-惠特尼類切赫上同調

斯蒂弗爾-惠特尼類wr為於切赫上同調羣Hr(X,ℤ2)取值的示性類。
對正合列0→SOn→On→ℤ2→0，有第一斯蒂弗爾-惠特尼類w1:H1(X,On)→H1(X,ℤ2)，則w1(P)=0當且僅當P為主SOn叢，即P為可定向向量叢。
對正合列
，有第二斯蒂弗爾-惠特尼類w2:H1(X,SOn)→H2(X,ℤ2)，則w2(P)=0當且僅當P為主Spinn叢，即P為附有自旋結構的向量叢。
若P的表示為{𝓤,gαβ}，且Uα⋂Uβ為單連通，則可提升為
，於Uα⋂Uβ⋂Uγ定義wαβγ=
。由於ξ0(wαβγ)=1，故有wαβγ:Uα⋃Uβ⋃Uγ→ℤ2，則ℤ2上鍊表示w2(P)。 [5] 

斯蒂弗爾-惠特尼類拓撲能帶論中的應用

拓撲ℤ2不變量可被視為普法夫線叢可定向性的阻礙，並以斯蒂弗爾-惠特尼類來刻畫。
若將π:Pf→𝕋視為實普法夫線叢，則其示性類為第一斯蒂弗爾-惠特尼類w1∈H1(𝕋,ℤ2)≅H1(𝕊1,ℤ2)≅ℤ2。且與Kane-Mele不變量的關係為ν=(-1)w1(Pf)。
儘管會使用高階的斯蒂弗爾-惠特尼類，但對應的阻礙只有可定向性。 [7] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    John W. Milnor, James D. Stasheff．示性類：普林斯頓大學出版社，1974
  • 3.    B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov．現代幾何學方法和應用 第3卷：Springer，1990
  • 4.    Max Karoubi．K理論導論：Springer，1978
  • 5.    H. Blaine Lawson, JR. Marie-Louise Michelsohn．自旋幾何：普林斯頓大學出版社，1989
  • 6.    Vector Bundles & K-Theory  ．Allen Hatcher主頁[引用日期2021-11-06]
  • 7.    The Stiefel--Whitney theory of topological insulators  ．arxiv[引用日期2021-12-07]