實變函數與泛函分析

本次修訂是在第二版的基礎上進行的，作者根據多年來的使用情況以及數學的近代發展，做了部分但是重要的修改。《實變函數與泛函分析》共11章：實變函數部分包括集合、點集、測度論、可測函數、積分論、微分與不定積分；泛函分析則主要涉及賦範空間、有界線性算子、泛函、內積空間、泛函延拓、一致有界性以及線性算子的譜分析理論等內容。 ^[1] 

第一篇 實變函數

第一章 集合

1 集合的表示

2 集合的運算

3 對等與基數

4 可數集合

5 不可數集合

第一章習題

第二章 點集

1 度量空間，n維歐氏空間

2 聚點，內點，界點

3 開集，閉集，完備集

4 直線上的開集、閉集及完備集的構造

5 康托爾三分集

第二章習題

第三章 測度論

1 外測度

2 可測集

3 可測集類

4 不可測集

第三章習題

第四章 可測函數

1 可測函數及其性質

2 葉果洛夫定理

3 可測函數的構造

4 依測度收斂

第四章習題

第五章 積分論

1 黎曼積分的侷限性，勒貝格積分簡介

2 非負簡單函數的勒貝格積分

3 非負可測函數的勒貝格積分

4 一般可測函數的勒貝格積分

5 黎曼積分和勒貝格積分

6 勒貝格積分的幾何意義·富比尼定理

第五章習題

第六章 微分與不定積分

1 維它利定理

2 單調函數的可微性

3 有界變差函數

4 不定積分

5 勒貝格積分的分部積分和變量替換

6 斯蒂爾切斯積分

7 L-S測度與積分

第六章 習題

第二篇 泛函分析

第七章 度量空間和賦範線性空間

1 度量空間的進一步例子

2 度量空間中的極限，稠密集，可分空間

3 連續映射

4 柯西點列和完備度量空間

5 度量空間的完備化

6 壓縮映射原理及其應用

7 線性空間

8 賦範線性空間和巴拿赫空間

第七章習題

第八章 有界線性算子和連續線性泛函

1 有界線性算子和連續線性泛函

2 有界線性算子空間和共軛空間

3 廣義函數

第八章習題

第九章 內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間

1 內積空間的基本概念

2 投影定理

3 希爾伯特空間中的規範正交系

4 希爾伯特空間上的連續線性泛函

5 自伴算子、酉算子和正常算子

第九章習題

第十章 巴拿赫空間中的基本定理

1 泛函延拓定理

2 C[a，b]的共軛空間

3 共軛算子

4 綱定理和一致有界性定理

5 強收斂、弱收斂和一致收斂

6 逆算子定理

7 閉圖像定理

第十章習題

第十一章 線性算子的譜

1 譜的概念

2 有界線性算子譜的基本性質

3 緊集和全連續算子

4 自伴全連續算子的譜論

5 具對稱核的積分方程

第十一章習題

附錄一 內測度，L測度的另一定義

附錄二 半序集和佐恩引理

附錄三 實變函數增補例題

參考書目

· · · · · ^[1]