實變函數與泛函分析

本書是大學《實變函數與泛涵分析》課程教材，是為非基礎數學專業本科生編寫的。讀者對象是應用數學、計算數學、統計及物理專業的本科生。 ^[2] 

章 集合與運算

1.1 集合及其運算

1.1.1 集合及其運算

1.1.2 上極限與下極限

習題

1.2 映射

1.2.1 映射

1.2.2 勢

習題

1.3 n維歐氏空間酞Rn

1.3.1 n維歐氏空間Rn

1.3.2 閉集、開集和Borel集

1.3.3 開集的結構，連續性

1.3.4 n維點集連續性的基本定理

習題

第二章 Lebesgue測度

2.1 Lebesgue外測度與可測集

2.1.1 外測度

2.1.2 Lebesgue可測集

2.1.3 測度空間

習題

2.2 Lebesgue可測函數

2.2.1 Lebesgue可測函數

2.2.2 可測函數的基本性質

2.2.3 測度空間上的可測函數和性質

習題

2.3 Lebesgue可測函數列的收斂性

2.3.1 可測函數列的幾乎一致收斂與幾乎處處收斂性

2.3.2 可測函數列的依測度收斂性

2.3.3 可測函數與連續函數

2.3.4 測度空間上可測函數的收斂性

習題

第三章 Lebesgue積分

3.1 Lebesgue可測函數的積分

3.1.1非負可測函數的積分

3.1.2一般可測函數的積分

3.1.3黎曼積分與Lebesgue積分的關係

3.1.4測度空間上可測函數的積分

習題

3.2 Lebesgue積分的極限定理

3.2.1 Lebesgue積分與極限運算的交換定理

3.2.2 黎曼可積性的刻畫

3.2.3 L(X，F，μ)中積分的極限定理

習題

3.3 重積分與累次積分

3.3.1 Fubini定理

3.3.2 測度空間上的重積分與累次積分

習題

第四章 Lp空間

4.1 Lp空間

4.1.1 Lp空間的定義

4.1.2 Lp空間的性質

4.1.3 Lp空間的完備性

4.1.4 Lp空間的可分性

習題

4.2 L2空間

4.2.1 L2空間的內積

4.2.2 L2空間的性質

習題

4.3 卷積與Fourier變換

4.3.1 卷積

4.3.2 L2(Rn)上的Fourier變換

習題

第五章 Hilbert空間理論

5.1 距離空間

5.1.1 距離空間定義和完備化

5.1.2 列緊性與可分性

5.1.3 連續映射與壓縮映射原理

習題

5.2 Hilbert空間理論

5.2.1 定義

5.2.2 正交性

5.2.3 Riesz表示定理

習題

5.3 Hilbert空間上的算子

5.3.1 線性算子的連續性和有界性

5.3.2 共軛算子

5.3.3 投影算子

習題

5.4 Hilbert空間上的緊算子

5.4.1 緊算子定義

5.4.2 Fredholm理論，緊算子的譜

5.4.3 Hilbert-Schmidt理論

習題

第六章 Banach空間

6.1 Banach空間

6.1.1 Banach空間定義

6.1.2 線性賦範空間上的模等價

6.1.3 有界線性算子

習題

6.2 Banach空間上的有界線性算子

6.2.1 逆算子定理

6.2.2 閉圖像定理

6.2.3 共鳴定理

6.2.4 應用

習題

6.3 Banach空間上的連續線性泛函

6.3.1 連續線性泛函的存在性

6.3.2 共軛空間以及它的表示

6.3.3 共軛算予

習題

6.4 Banach空間的收斂性和緊緻性

6.4.1 弱收斂與*弱收斂

6.4.2 弱列緊性與弱*列緊性

習題

附錄A Zorn引理與勢的序關係

附錄B Tietze擴張定理

附錄C 距離空間的完備化

附錄D 綱集與開映射定理

D.1 綱與綱定理

D.2 開映射定理

附錄E 部分習題的參考解答或提示

參考文獻

符號集

索引 ^[1]