規範正交系

設M是內積空間X的一個不含零子集，若M中向量兩兩正交，則稱M為X中的正交系，又若M中向量的範數都為1，則稱M為X中的規範正交系。 ^[1] 

元素的正交性在內積空間和Hilbert空間中扮演着十分重要的角色。在n維歐氏空間，選定n個相互正交的向量

，則形成n維空間中的一組正交基，也就是説在空間中建立了一組座標系，空間中的任何一個元素都可以由這組座標的線性組合表示出來。

其中

。

Rⁿ為n維歐氏空間，則向量集

為Rⁿ中規範正交系，其中

（1）對正交系M中任意有限個向量

，有

事實上，由於M中向量兩兩正交，所以

（2）正交系M是X中線性無關子集。

事實上，設

，而且

，其中為n個數，則對任何

，有

由於

，因此

，所以

線性無關，從而説明M是X中線性無關子集。

設M為內積空間X中的規範正交系，

，稱數集

為向量x關於規範正交系M的傅里葉係數集。

而稱

為x關於e傅里葉係數。

設

是內積空間中的有限或可數規範正交系，則對

，有

設

是Hilbert空間中的可數規範正交系，則

（1）級數

收斂的充要條件為級數

收斂。

（2）對

，級數

收斂。

在空間

中，定義內積為

則三角函數系

為

中規範正交系，所以內積空間中規範正交系是正交函數系概念的推廣。