正交系

設

是內積空間H的一些非零元素構成的子集，若M中任何兩個不同元素都正交，則稱M為H中的一個正交系，進一步，若在正交系M中每個元素的範數均為1，則稱M為H的一個標準正交系。 ^[1] 

例1 在

中，

是一個標準正交系。

例2 在空間

中，命

由於

因此

是一個標準正交基。

已知在線性代數中，對於一組線性無關向量可用格雷姆一休密特(Gram—Schmidt)正交化程序構造出標準正交向量組，在內積空間中則有下述的定理。 ^[1] 

(格雷姆一休密特正交化程序)設H是內積空間，

是H中的線性無關子集，則存在標準正交系

，使得對每一個自然數n，有：

。 ^[1] 

內積空間H中的有限維子空間M是閉子空間。

設

是希爾伯特空間H中的一個標準正交系，令

，如果P是H到M上的正交投影算子，則對於任意的

，有

設

是希爾伯特空間H的標準正交系，

是實(或復)數點列，那麼級數

在H中收斂，當且僅當

。進而還有

[貝塞爾(Bessel)不等式]設

是希爾伯特空間H中的標準正交系，則對於任意的x∈H和n∈N，有

和

進一步

而且

在H中收斂。

設

是內積空間H中的一個標準正交系，則

是完備的，當僅當

張成的子空間L在H中稠密。

設H是希爾伯特空間，

是H中的標準正交系，則

是完備的，當且僅當

是完全的。

在一般的希爾伯特空間中，標準正交甚有下述等價刻畫。

設

為希爾們特空間H中的標準正交系，則下述一些條件等價：

(1)S是H的完全標準正交系；

(2)

(此條件滿足時稱S為完備的)；

(3)

(4)對於任意的

，

(5)對於任意的

，巴塞伐爾等式成立，即

(6)對於任意

設H是希爾伯特空問，則下述兩條等價：

(1)H是可分的；

(2)H有一個至多可數的完全標準正交系。 ^[1]