正交投影算子

正交投影算子是把任一元映到該元的正交投影的算子。

設M是希爾伯特空間H的閉線性子空間，對任意x∈H，必有分解

，定義算子P如下：Px=x₁，即Px是x在M上的投影，稱算子P為由H到M上的正交（或直交）投影算子，簡稱投影（或射影）算子。

投影算子P具有下列性質：

p²=P（冪等）；

P有界（事實上有‖P‖=1）；

對一切x,y∈H,(Px,y)=(x,Py)成立（自伴）。反之，H上有界自伴的冪等算子必是投影算子。

正交投影算子與H的閉線性子空間之間成一一對應。

滿足PQ=0的兩個正交投影算子P和Q稱為相互正交的，記為P⊥Q。

正交投影算子是希爾伯特空間上特別重要的一類算子，它是希爾伯特空間的很好的幾何特徵的反映，又是研究其他複雜算子的工具。 ^[1]