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多元微積分
鎖定
- 中文名
- 多元微積分
- 外文名
- Multivariable calculus
- 別 名
- 多變量微積分
- 本 質
- 微積分學的一個組成部分
- 基 於
- 微積分的基本思想的應用
- 應用學科
- 數學
- 定 義
- 涉及多元函數的微積分學的統稱
多元微積分歷史
多元函數的概念很早就出現在物理學中,因為人們常常要研究取決於多個其他變量的物理量。例如托馬斯·布拉德華曾試圖尋找運動物體的速度、動力和阻力之間的關係。不過從十七世紀開始,這個概念有了長足發展。1667年,詹姆斯·格雷果裏在Vera circuli et hyperbolae quadratura一文中給出了多元函數最早的定義之一:“(多元)函數是由幾個量經過一系列代數運算或別的可以想象的運算得到的量。
[1]
”十八世紀,人們發展了基於無窮小量的微積分,,並研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那時多元函數的運算與一元函數類似。直到十九世紀末和二十世紀,人們才嚴格建立起偏導數(包括二階偏導數)的計算法則。
[2]
多元微積分多元函數
多元微積分多元函數分析
多元微積分極限與連續性
在多元微積分領域,對函數極限和連續性的研究可導致許多違反直覺的結果。例如,一些二元標量函數,當x,y沿不同路徑(例如直線與拋物線)趨近於極限點時,函數的值不同。例如,函數
沿任何直線 y=kx 趨近於原點 (0,0) 時,f趨近於0。然而,當變量x,y沿拋物線 y=x2趨近於原點時,f趨近於0.5。由於沿不同路徑取極限時函數值不同,故該函數在原點的極限不存在。
每一個變量的連續不是多元函數連續的充分條件:例如, 含有兩個變量的實數函數f(x,y),對於每一個固定的y,f關於x的函數在其定義域內連續。同樣的,對於每一個固定的x,f關於y的函數在其定義域也內連續,但這不能説明原函數連續。
舉一個例子,考慮函數
很容易驗證,在實數域中,定義函數:
,則對於每一個固定的y ,
在
上連續。同理,函數
也是關於 y 的連續函數。然而,函數f在原點是不連續的。 考慮序列
(n為自然數),若在原點連續其結果應為 f(0,0)=0。然而,通過計算知其在原點的極限為
。 因此,f在原點不連續。
多元微積分偏導數
偏導數將導數的概念推廣到更高維度。一個多變量函數的偏導數是一個相對於一個變量的導數,所有其他變量視作常數,保持不變。
偏導數可以組合起來,創造出形式更復雜的導數。在向量分析中,Nabla算子(
)依據偏導數被用於定義這些概念:梯度,散度,旋度。在含有偏導數的矩陣中,雅可比矩陣可以用來表示任意維空間之間的函數的導數。因此,導數可理解為從函數定義域到函數值域的逐點變化的線性映射。
多元微積分重積分
重積分將積分的概念拓展至任意數量的變量。二重積分和三重積分可用於計算平面和空間中區域的面積和體積。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算二重積分的條件。
可以用曲面積分和曲線積分在曲面和曲線等流形上進行積分。
多元微積分基本定理
在一元微積分中,微積分基本定理建立了導數與積分的聯繫。多元微積分中導數與積分之間的聯繫,體現為矢量微積分的積分定理:
- 梯度定理
- 斯托克斯定理
- 高斯散度定理
- 格林公式.
在對多元微積分更深層次的研究中,可以認為以上四條定理是一個更一般的定理的具體表現,即廣義斯托克斯定理,後者適用於在流形上對微分形式進行積分。
多元微積分向量分析
不過,向量分析的重要性源自它在物理學和工程科學中的廣泛應用,所以上面的 E常限制為
,即通常的三維空間。在這種語境下,矢量場給空間中的每個點賦予一個帶有三個實數分量的矢量,而標量場給每個點賦予一個實數。以湖水為例,湖水各處的温度形成一標量場,而各處的速度則形成一矢量場。因此,矢量分析是流體力學、氣象學、靜電學、電動力學和地球物理學的基本工具。
- 參考資料
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- 1. Richard Courant; Fritz John. Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. 14 December 1999. ISBN 978-3-540-66570-0.
- 2. Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer. Une histoire des mathématiques – Routes et dédales. 1986. ISBN 978-2-02-009138-1.
- 3. Goffman C, 史濟懷. 多元微積分[J]. 1978.