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雅可比矩陣
鎖定
- 中文名
- 雅可比矩陣
- 外文名
- jacobi matrix
- 定 義
- 一階偏導數以一定方式排列成的矩陣
- 應用學科
- 線性代數
雅可比矩陣定義
設U⊂ℝn,f:U→ℝk為光滑映射,fi:=ui∘f:U→ℝ為分量函數,則f在p點的雅克比矩陣為k×n矩陣Df(p),其(i,j)矩陣元為Djfi(p)。
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雅可比矩陣簡介
在向量分析中,雅可比矩陣是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣,其行列式稱為雅可比行列式。
在代數幾何中,代數曲線的雅可比行列式表示雅可比簇:伴隨該曲線的一個代數羣,曲線可以嵌入其中。
它們全部都以數學家卡爾·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。
假設某函數從
映到
, 其雅可比矩陣是從
到
的線性映射,其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此,雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。
假設
是一個從n維歐氏空間映射到到m維歐氏空間的函數。這個函數由m個實函數組成:
。這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣,這個矩陣就是所謂的雅可比矩陣:
此矩陣用符號表示為:
雅可比矩陣例子
由球座標系到直角座標系的轉化由F函數給出︰
此座標變換的雅可比矩陣是
其雅可比矩陣為:
此例子説明雅可比矩陣不一定為方陣。
雅可比矩陣逆矩陣
成立。相反,倘若雅可比行列式在某一個點不為零,那麼該函數在這個點的某一鄰域內可逆(存在反函數)。
一個多項式函數的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言,如果函數的雅可比行列式為一個非零實數(相當於其不存在復零點),則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。
雅可比矩陣MATLAB代碼
MATLAB中jacobian是用來計算Jacobi矩陣的函數。
syms r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
結果:
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
雅可比矩陣面積元證明
二維下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立
證明:對於曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元,即小曲邊四邊形ABCD,其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成。
利用中值定理可知:
(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
式中M,N為偏導數形式,可以通過簡單計算得出。
當變化量很小時,
將(u+△u,v)-(u,v)近似看為dx(u,v)
(u,v+△v)-(u,v)近似看為dy(u,v),
故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
式中M*N為二維Jacobi行列式的展開形式。
由此得證。