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雅可比行列式
鎖定
- 中文名
- 雅可比行列式
- 外文名
- Jacobian
- 別 名
- 雅可比式
- 提出者
- 雅可比
- 應用學科
- 高等數學
雅可比行列式正文
如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恆等於零，則函數組是函數相關的，其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。
[1]
雅可比行列式證明
若因變量
對自變量
連續可微，而自變量
對新變量
連續可微,則因變量
對新變量
連續可微，且
這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。偏導數的連鎖法則也有類似的公式。如當(u，v)對(x，y，z)連續可微，而(x，y，z)對(r，s)連續可微時，便有
若上式中r能回到u，則
這時必須有
。
由隱函數存在定理可知，在
對連續可微的前提下,只須
便足以保證
也對
連續可微。這樣,連續可微函數組便在雅可比行列式不等於零的條件之下,在每一對相應點u與x的鄰近範圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關係。
在n=2的情形，以Δx₁,Δx₂為鄰邊的矩形(ΔR)對應到(u₁,u₂)平面上的一個曲邊四邊形(ΔS),其面積ΔS關於Δx₁,Δx₂的線性主要部分，即面積微分是
。這常用於重積分的計算中。
如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負（其正負號標誌着u-座標系的旋轉定向是否與x-座標系的一致）。如果雅可比行列式恆等於零,則函數組
是函數相關的,其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。
