單葉函數

單葉函數是複變函數中一類重要的解析函數。對複平面區域D上單值的解析函數ƒ(z)，若對D中任意的不同的兩點z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2)，則説f(z)為D上的單葉函數，記作f(z)屬於φ。單葉函數及其相關的單葉映射等課題是複變函數論最重要的研究內容之一。 ^[1] 

由著名的黎曼映射定理知道，任意兩個至少有兩個邊界點的單連通區域D1及D2，一定可以相互共形映射，即存在解析的單葉函數ƒ，將D1一一地映射為D2，所以對單葉函數的研究在複變函數論中顯得很重要。由於單葉映射也是最簡單的映射，所以對它的討論也是複變函數論中最基本的內容之一。若解析函數ƒ(z)在D中單葉，則ƒ’(z)≠0在D中成立；反之，ƒ'(z)≠0在D中成立，不一定能保證ƒ(z)在D中單葉，只能説在一點的一個鄰域內單葉。最早對單葉函數有重要貢獻的是P.克貝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.費伯(1916)等。例如，比伯巴赫證明了重要的偏差定理：若 ƒ(z)在|z|<1中正則單葉，且ƒ(0)=0,ƒ'(0)=1,則有：

上述等號限於克貝函數

時成立。 ^[2] 

德國數學家克貝和比伯巴赫等最早對單葉函數做出貢獻。例如，比伯巴赫從1916年開始對單位圓內全純單葉函數進行了定量研究，他討論了單葉的半純函數，建立了面積原理，由此導出貝克掩蓋定理，最後證明了重要的偏差定理。 ^[1] 

原蘇聯數學家戈盧津研究單葉函數的幾何性質，證明了有趣的迴轉定理。 ^[1] 

比伯巴赫與芬蘭數學家奈望林納共同建立了單位圓內單葉函數的系統理論。1916年比伯巴赫提出了一個著名猜想，被稱為比伯巴赫猜想。它曾經是單葉函數研究的中心問題，吸引過許多著名數學家。圍繞這個猜想所做的工作推動了複變函數論的發展。 ^[1] 

注意：由比伯巴赫猜想產生了一系列相關的猜想，如米林猜想、羅伯森猜想、希爾斯莫爾猜想、羅戈辛斯基猜想、李特爾伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想，可以證明米林猜想導出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基結合勒夫納方法及米林方法證明了米林猜想，從而證明了比伯巴赫猜想。歷時68年終於證明了這個著名的猜想。 ^[2] 

單葉函數最基本的性質為其導數無零點。即：f(z)∈φ，z∈R

f'(z)≠0,z∈R。

證明：設R為開域，且f(z)∈φ，z∈R。如果上述性質不成立，則在R中至少存在一點z0，使得f'(z0)=0。令f(z0)=w0，則f(z0)-w0以z0為m階零點（m≥2）。因為f(z)為單葉函數，當然不為常數，於是f(z)-w0及f'(z)的零點都有孤立性。因此存在ρ>0，使得在閉圓域|z-z0|≤ρ中，除去點z0外，不僅f(z)-w0不為零，而且f'(z)也不為零，並且這個閉圓域全部在R中。以τ表示圓|z-z0|=ρ，並令δ=min|f(z)-f(z0)|，其中z屬於τ。對w平面滿足不等式0<|w1-w0|<δ的任一點w1，利用魯歇定理，仿照保存開域原則的證明方法，並注意到0<|z-z0|≤ρ，f'(z)≠0，即可證明τ內f(z)-w1有m個單零點。設z1，z2為這m個單零點的任意兩個，則z1≠z2，且z1,z2∈R，但f(z1)=f(z2)=w1。因此，w=f(z)在R中不能為單葉函數，這與假設矛盾。這就證明了上述性質。 ^[3] 

單葉函數的單葉函數仍為單葉函數。

證明：設w=f(z)在開域R中為單葉函數，且把z平面的開域R變為w平面的開域R'，ξ=F(w)在開域R‘’中為單葉函數，且把w平面的開域R'變為ξ平面的開域R”。我們知道解析函數的解析函數仍為解析函數，因而ξ=F{f(z)}在R中解析。又R中的點與R'中的點一一對應，R’中的點與R''中的點一一對應，所以R中的點與R''中的點必然是一一對應的。所以ξ=F{f(z)}∈φ，z∈R。定理證畢。 ^[3] 

單葉函數的反函數仍為單葉函數。

證明：為書寫方便起見，令

。已知z=φ(w)建立了R'中的點的一一對應關係，要證明z=φ(w)在R'中為單葉函數，只需證明它在R'中解析即可。

首先證明z=φ(w)在R'中連續。設w0為R'中任意一定點，並令z0=φ(w0)，則w0=f(z0)。設

為任意給定的正數，並取得適當小，使得z0的鄰域E：l z—z0l<ε全部在R中。在變換w=f(z)下，z平面的開域E變為w平面的開域E'，它們全部在R'中。注意到w0為E'的內點，因此可以w0為中心，最大可能的正數δ為半徑作w0的鄰域Ω：I w-w0I<δ全部在E’中。顯然對任意一點w∈Ω，它所對應的z屬於E。這就證明了當lw-w0I<δ時，Iz-z0l=Iφ(w)-φ(w0)I<ε，所以z=φ(w)在w0處連續。由於點w0可以為R'中任意一點，故z=φ(w)在R'中連續。

其次證明z=φ(w)在點w0處導數存在。因已知z=φ(w)為w的連續函數，故當w→w0時，z→z0，又從性質1可知，f '(z0)≠0，於是有：

這就證明了z=φ(w)在點w0處導數存在，且其值為

。由於w0可以為R'中的任意一點，因此φ(w)在R'中處處有導數，當然解析。於是證明了φ(w)∈φ，w∈R'。 ^[3] 

設w=f(z)在單位圓|z|<1中為單葉，且把|z|<1變為|w|<1。如果能夠保持圓心不變，則w=f(z)必為整線性變換

，這裏a為實數。如果還知道能夠保持經過圓心的某一方向不變，則w=f(z)必為恆等變換w=z。

證明：按照假設w=f(z)∈φ，|z|<1，且把|z|<1變為|w|<1，把點z=0變為w=0.從此即知f(z)滿足三個條件：

（1）f(z)∈A，|z|<1；

（2）|f(z)|<1，|z|<1；

（3）f(0)=0。

於是根據模相似定理，得|w|=|f(z)|≤|z|（其中|z|<1）。

另一方面，從性質3可知w=f(z)的反函數z=φ(w)∈φ，|w|<1。顯然z=φ(w)把|w|<1變為|z|<1，把w=0變為z=0。於是φ(w)也滿足三個條件：

（1）φ(w)∈A，|w|<1；

（2）|φ(w)|<1，|w|<1；

（3）φ(0)=0。

同理有|z|=|φ(w)|≤|w|（其中|w|<1），故得對|z|<1中任意一定點z來説，它與其影點w滿足關係式|z|≤|w|≤|z|，因此有|w|=|z|。於是根據模相似定理中取等號的情形，可知

，因而變換w=f(z)簡化為

。

如果還知道能夠保持經過圓心的某一方向不變，也就是這個方向的轉動角度為零，這時f'(0)=|f'(0)|>0，於是從

可得

，因為α=0。這時f(z)=z，這就證明了w=f(z)簡化成恆等變換w=z. ^[3]