映射定理

精確地(Rudin 1973, 定理2.11):如果X和Y是巴拿赫空間，A : X → Y是一個滿射的連續線性算子，那麼A就是一個開映射（也就是説，如果U是X內的開集，那麼A(U)在Y內是開放的）。 該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦範空間，那麼定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那麼定理的結論仍然成立。

開映射定理有一些重要的結果：

如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性算子，那麼逆算子A : Y → X也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) 如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性算子，且如果對於X內的每一個序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)

我們需要證明，如果A : X → Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數k U的序列的交集，k ∈ N，且由於A是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v ∈ V，那麼c + r v和c位於B(c, r)內，因此是A(k U)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是A(k U) − A(k U) ⊂ A(2k U)的極限點。根據A的線性，這意味着任何v ∈ V都位於A(δ  U)的閉包內，其中δ = r / (2k)。於是可以推出，對於任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某個x ∈ X，滿足：

<IMG class=tex alt="\ ||x||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y - Ax||

固定y ∈ δ V。根據(1)，存在某個x 1，滿足||x 1|| < 1且||y − A x 1|| < δ / 2。定義序列{xn}如下。假設：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)||

根據(1)，我們可以選擇x n +1，使得：

<IMG class=tex alt="\ ||x_{n+1}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})||

因此x n +1滿足(2)。設

從(2)的第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個x ∈ X。根據(2)，序列A sn趨於y，因此根據A的連續性，有A x = y。而且：

<IMG class=tex alt="||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n||

這表明每一個y ∈ δ V都屬於A(2 U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11)：

設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果A : X → Y是一個連續線性算子，那麼要麼A(X)是Y內的貧集，要麼A(X) = Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。 更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解。

黎曼流形之間的一類十分重要的可微映射。設M和N為黎曼流形，f：M→N為光滑映射，若f的張力場τ(f)恆為零，則稱f為調和映射.由第一變分公式可知：調和映射是能量泛函的臨界點;反之，若f是能量泛函在每一個緊緻區域DM上關於保持邊界D不動的變分的臨界點，則f必是調和映射.另一方面，若將df看做M上取值於誘導叢fTN的1形式，這裏TN是N的切叢，則可以證明：當f為調和映射時，df為調和1形式;且當M為緊緻流形時，其逆亦真.因此，調和映射與非線性調和1形式理論有密切關係.調和映射有許多重要的特例，因而具有廣闊的背景.例如：

1.當N=R時，調和映射就是M上的調和函數.

2.當dim M=1時，調和映射就是N中的測地線.

3.當f為等距浸入時，f是調和映射的充分必要條件為f是極小浸入.

4.克勒流形間的全純映射必為調和映射.

5.具有雙不變黎曼度量的李羣間的連續同態必為調和映射. ^[1]