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厄米共軛算符

在數學裏，作用於一個有限維的內積空間，自共軛矩陣。矩陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等；等價地説，表達自伴算子的矩陣是埃爾米特矩陣。即厄米共軛算符表達了一個厄米特矩陣(Hermitian Conjugate Matrix)。

厄米共軛算符定義

n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。

例如：矩陣

，那麼A就是一個自共軛矩陣。

顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那麼它也是埃爾米特矩陣。也就是説，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。

若A和B是埃爾米特矩陣，那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。

可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。

如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，Aⁿ是埃爾米特矩陣。

方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。

任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。

埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。

n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為n^2-n的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之外的元素有兩個自由度。

如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那麼這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。^[1]

參考資料

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