分岔理論

研究分岔現象的特性和產生機理的數學理論。對於某些完全確定的非線性系統，當系統的某一參數μ連續變化到某個臨界值μc時，系統的全局性性態（定性性質、拓撲性質等）會發生突然變化。μc稱為參數μ 的分岔值或分枝值。這種現象稱為分岔現象，是一種有重要意義的非線性現象。分岔現象不僅是數學現象，它在自然界中也有種種表現。早期，除了數學理論的研究外，通過數字計算機進行的數值實驗是研究非線性微分方程中的分岔現象的主要手段。20世紀80年代前後，關於分岔的真正的實驗觀測也已在迅速增加。

分岔（bifurcation）常出現在動態系統的數學研究中，是指系統參數（分岔參數）小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓撲結構的突然改變。 ^[1]  分岔會出現在連續系統（以常微分方程、時滯微分方程或偏微分方程來描述）或是離散系統中 （以映射來描述）。

bifurcation一詞最早是由儒勒·昂利·龐加萊在1885年的論文中提出，這也是第一篇提到類似特性的數學論文，龐加萊後來也為許多不同的駐點命名而且分類。

分岔現象的研究引起了眾多領域的科學家的興趣。理論和實驗的結果都表明，分岔現象是出現在許多學科中的普遍物理現象。早在19世紀，C.雅可比、H.龐加萊等人就已引進“分岔”這一術語。迄今已出現了許多關於分岔理論的著作，其中除大量的數學文獻外，在彈性結構、流體力學、天體物理學、化學反應、非線性振動、生物發育、基本粒子理論等領域中有關分岔現象的文獻數量也很多。在系統與控制理論中，分岔理論可以用來探討非線性系統中分岔現象的產生和消失、分岔性失穩的出現和控制以及分岔性失穩系統的調節和控制等問題。分岔理論也為協同學、耗散結構理論、數學生態學提供了有用的工具。20世紀70年代後期關於混沌現象和奇異吸引子的研究結果表明，連續發生的分岔現象往往是出現混沌現象的先兆。混沌現象是比分岔更為複雜的一類非線性現象。它不是簡單的無序和混亂狀態，而是沒有明顯的週期和對稱、卻具備豐富的內部層次的有序狀態。分岔理論對許多實際系統的研究有重要意義。

從數學角度來説，分岔理論主要研究非線性方程(微分方程、積分方程、差分方程等)中的參數對解的定性性質的影響。其中，參數與解的穩定性、週期性、平衡位置等基本性質的關係是研究的重點。早在1885年，龐加萊就提出了一套平面動力學系統的平衡狀態與參數的關係的理論。他研究了參數通過分岔值時系統軌線的拓撲結構的變化狀況，建立了相應的判別準則。20世紀50年代，蘇聯學者A.A.安德羅諾夫推廣了龐加萊的結果，並在非線性振動理論中加以應用。後來，又有人研究高維歐幾里德空間或巴拿赫空間中的分岔理論，但結果還不多。

分岔可以分為以下的二種類型：

局部分岔是指因參數變化，因此改變平衡點（或是不動點）穩定性的情形，對應平衡點特徵值的實部由正變負或是由負變正，在離散系統中（會由映射描述），是指不動點其弗洛凱乘子的模為1。這二種情形下，平衡點在分岔時都是非雙曲線的。

局部分岔有一個特性，只要控制分岔參數，可以將系統相圖中的拓樸變化限制在分岔點附近任意小的區域中，因此稱為局部分岔。

考慮用以下常微分方程描述的連續動態系統

若在

位置的雅可比矩陣有實部為0的特徵值，表示在此點有局部分岔。若特徵值為0，表示此分岔為穩態的分岔，但若特徵值為虛數，表示是霍普夫分岔。

若是離散系統

若在

的矩陣

有模數為1的特徵值，表示有局部分岔。若特徵值等於1，分岔可能是鞍結分岔、跨臨界分岔或叉式分岔，若特徵值等於-1，表示是週期加倍分岔，否則則為霍普夫分岔。

局部分岔的例子有：

全域分岔是指較大的不變集（如週期性軌跡）和平衡點重疊。全域分岔也會改變相圖上的拓樸，而且其變化不會像局部分岔一様限制在一個小區域，因此稱為全域分岔。

全域分岔的例子有：

全域分岔有時會和像奇異吸引子之間更復雜的結構有關，如一種稱為危機的現象就是指當動態系統的參數變化時，奇異吸引子突然出現或是突然消失。

分岔的餘維數是指動態系統中需變動幾個參數，才會使分岔現象出現。鞍結分岔及霍普夫分岔是常見的局部分岔中，實際餘維數為1的二個分岔（其他分岔的餘維數都大於1）。不過跨臨界分岔及叉式分岔的正規式可以寫成只有一個參數的形式，因此也可以視為餘維數為1的分岔。

Bogdanov-Takens 分岔是一個有較多研究，餘維數為2分岔的一個例子。

分岔理論已用在連結量子系統及經典力學系統的動態中，可以用在原子系統 ^[2]  、分子系統及諧振隧穿二極管。分岔理論已用到激光動力學的研究中，也用在許多在實驗上難以處理的理論例子中，例如kicked top及耦合量子阱。 ^[3]  將量子系統及古典力學運動方程中分岔相連結的主要原因是在分岔時，古典力學軌道的signature會變大，正如Martin Gutzwiller在有關量子混沌中的研究所提出的一樣。許多分岔都研究來連結古典力學和量子力學，像是鞍結分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、週期加倍分岔、重新連接分叉（reconnection bifurcation）、切線分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。