克羅內克函數

在數學中，克羅內克函數（又稱克羅內克δ函數、克羅內克δ）

是一個二元函數，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函數的自變量（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

克羅內克函數的值一般簡寫為

。

克羅內克函數和狄拉克δ函數都使用δ作為符號，但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標，而狄拉克δ函數則只有一個變量。 ^[1] 

另一種標記方法是使用艾佛森括號（得名於肯尼斯·艾佛森）：

同時，當一個變量為0時，常常會被略去，記號變為

：

在線性代數中，克羅內克函數可以被看做一個張量，寫作

。 ^[2] 

類似的，在數字信號處理中，與克羅內克函數等價的概念是變量為

(整數)的函數：

這個函數代表着一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時，輸出的函數被稱為此單元的衝激響應。

克羅內克函數有篩選性：對任意

：

如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間，那麼這個性質和狄拉克δ函數的定義是一樣的：

實際上，狄拉克δ函數是根據克羅內克函數而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定

為連續的情況（狄拉克函數） ，而使用i,j,k,l,m, andn等變量一般是在 離散的情況下（克羅內克函數）。

在線性代數中，單位矩陣可以寫作

。

在看做是張量時（克羅內克張量），可以寫作

。

這個(1,1)向量表示：作為線性映射的單位矩陣；跡數；內積

；映射

，將數量乘積表示為外積的形式。 ^[3] 

定義廣義克羅內克函數為

矩陣的行列式，以方程式表達為

其中，

是個張量函數，定義為

。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

其中，

和

是列維-奇維塔符號。

其中，

是

階張量。 ^[3] 

對任意的整數

，運用標準的留數計算，可以將克羅內克函數表示成積分的形式：

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。

這個表示方式與下面的另一形式等價：