位勢論

“位勢論”一詞的來源在於，在19世紀的物理學中，自然界的基本力被相信為從滿足拉普拉斯方程的位勢導出。因此，位勢論研究可以作為位勢的函數。今天，我們知道自然界更為複雜——表述力的方程可以是諸如愛因斯坦場方程或者楊－米爾斯方程這樣的非線性偏微分方程的系統，而拉普拉斯方程只是在受限情況下的近似。但是，“位勢論”一詞還是保留了作為對滿足拉普拉斯方程的函數的研究的方便叫法。 ^[2] 

很顯然，位勢論和拉普拉斯方程的理論有很大程度的重疊。這個程度是：可能可以在兩個領域劃分一個區別，區別在於重點而不是主題，並且主要在於下列區別——位勢論注重函數的性質而不是方程的性質。例如，調和函數的奇點的一個結果可説屬於位勢論；而關於解如何依賴於邊界條件的一個結果，卻是拉普拉斯方程理論。當然，這不是一個嚴格和顯然的區別，實踐上兩個領域有很大交叉，它們的結果和方法相互為用。

調和函數的研究有個基本而有用的原理，就是拉普拉斯方程的對稱性。首先注意到拉普拉斯方程是線性的（不過這並非尋常意義下的對稱），這意味着位勢論的基本對象是由函數組成的線性空間，我們將在後面章節看到它的重要性。

就通常所謂的“對稱”來説，我們可以從下述定理起步：n 維拉普拉斯方程的對稱羣恰好是 n 維歐氏空間的共形映射羣，簡稱共形羣。從此得到幾個推論：

（1）考慮共形羣或其子羣（例如旋轉或平移子羣）的不可約表示，籍此能有系統地得到拉普拉斯方程的分離變量解，諸如球面調和函數或傅里葉級數解。從這些解的線性疊加能得到一大類調和函數，可證明它們構成調和函數空間裏的一個稠密子空間（在適當的拓撲下）。

（2）可以從共形對稱性理解一些經典的技巧與方法，諸如克萊因變換或鏡像法。

（3）我們能用共形變換將一個區域的調和函數拉回成另一區域裏的調和函數。最常見的例子是單位圓盤與上半平面的共形等價性。

（4）利用共形對稱性，可以將調和函數的定義推廣到共形平坦（即：在一個光滑共形同胚映射下同胚於平坦空間）的黎曼流形。最簡單的例子也許是將

上的調和函數（允許帶有孤立奇點）視作

上的調和函數。至於較複雜的情形，以下舉兩個例子。首先我們將一個多值調和函數看作是

的某個分支覆蓋上的單值調和函數，從而建立高維的黎曼曲面論；或者，我們可以將在共形羣的一個離散子羣下不變的調和函數視作軌形上的函數。

由於二維的共形變換羣本身是無窮維，而在三維以上則是有限維的，我們可以猜測位勢論在二維與在三維以上的性質迥異。的確如此；事實上，任何二維調和函數都是一個全純函數的實部，因此二維位勢論本質上不外是單變數的複分析。

因此，當人們談到位勢論，通常都將焦點集中在那些對三維以上成立的定理。讓人驚奇的是許多來自複分析的定理與概念（例如施瓦茲定理、莫雷拉定理、魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理以及奇點的相關理論等等）可在高維中推廣，我們可以藉此感覺到哪些是一般理論的特例，而哪些又是單變數複分析獨有的結果。

位勢論的重要課題之一是調和函數的局部行為，其中最基本的也許是拉普拉斯方程的正則性定理，此定理斷言調和函數是解析函數。也有些結果是描述調和函數的等位面之局部結構，例如 Bôcher 定理，它描述正調和函數的孤立奇點。如前一節所述，調和函數的孤立奇點可分類為可去除奇點、極點與本性奇點。 ^[3] 

研究調和函數的一種卓有成效的辦法是研究它們滿足的不等式，其中最基本者當屬極大值原理，由此可推出大多數其它不等式。另一個重要結果是劉維爾定理，它斷言定義在整個

上的有界調和函數必為常數函數。除此之外，還有柯西估計、Harnack 不等式與施瓦茨引理等幾個重要的不等式。

這些不等式的重要應用之一是研究一族調和函數或次調和函數的極限，這些收斂定理往往可用來證明存在滿足某些特殊性質的調和函數。

由於拉普拉斯方程是線性的，定域上的調和函數集構成一個向量空間。藉着賦予適宜的範數與（或）內積，可進一步賦予希爾伯特空間或巴拿赫空間的結構。藉此可得到哈代空間、布洛赫空間與柏格曼空間。

位勢論和拉普拉斯方程的理論有很大程度的重疊。這個程度是：可能可以在兩個領域劃分一個區別，區別在於重點而不是主題，並且主要在於下列區別——位勢論注重函數的性質而不是方程的性質。例如，調和函數的奇點的一個結果可説屬於位勢論；而關於解如何依賴於邊界條件的一個結果，卻是拉普拉斯方程理論。當然，這不是一個嚴格和顯然的區別，實踐上兩個領域有很大交互，它們的結果和方法相互為用。

角谷靜夫、卡茨、杜布等人首先發現了布朗運動與古典位勢論有密切的聯繫；亨特則發現通過一大類非常返馬爾可夫過程可以深入研究位勢論；後來，F.L.斯皮策用隨機遊動，J.G.凱梅尼和J.L.斯內爾用馬爾可夫鏈首先研究了常返的位勢理論。

位勢論與概率論的密切聯繫，最明顯的是，決定一個馬爾可夫過程的轉移函數可以用來定義位勢論中的格林函數。位勢論中的許多概念和原理都有明確的概率意義，特別體現在上鞅理論中，比如上調和函數相應於上鞅。位勢論中的法圖型邊界極限理論相應於上鞅收斂理論；單調上調和函數列的極限性質與單調上鞅的極限過程性質頗為相似；某些上調和函數、上鞅稱為位勢，它們在各自的理論中都有與之關聯的測度，都遵從只涉及這些測度支柱的控制原理,以及在概率論與位勢論中，都存在一個性質相同的簡化測度，它導出與位勢相關聯的測度的掃除等等。

在馬丁空間也可以構造布朗運動。此外，利用隨機積分方程的方法可以構造一般C級流形上的擴散過程，因此可以用概率方法研究馬丁空間和C黎曼流形上的位勢論。由於位勢論與概率論存在密切的聯繫，使得位勢論有了明顯的概率意義而位勢論也為概率論的研究提供了一種新的有力的分析工具。